Chương I. Cái Không trong toán học Chân không và hư vô

Khái niệm chân không đã ám ảnh nhân loại kể từ buổi bình minh của thời gian. Chân không là gì? Từ điển Petit Larousse giải thích: “Một không gian không chứa gì hết.” Còn Từ điển văn hóa ( 3 ) thì giải thích kỹ hơn: “Một không gian không bị chiếm giữ bởi vật chất.” Khái niệm về một không gian tồn tại từ trước có quan hệ mật thiết và gắn bó chặt chẽ với chân không. Chân không là sự vắng mặt của vật chất trong một không gian xác định, không gian này có thể là bên trong một chai rượu vang hoặc trong toàn bộ vũ trụ. Nhưng điều hấp dẫn chúng ta trong khái niệm chân không là, ngoài khái niệm về một không gian hoàn toàn trống rỗng, nó còn gợi ra khái niệm về hư vô, thường gắn liền với nó. Cũng chính từ điển Petit Larousse cho chúng ta biết rằng hư vô là “không tồn tại” hoặc “những gì còn chưa tồn tại hoặc đã ngừng tồn tại.” Trái với khái niệm chân không, hư vô không ngầm định một không gian nào cả: do hư vô là không tồn tại, nên thậm chí khái niệm không gian cũng là vô nghĩa. Khái niệm về hư vô mê hoặc chúng ta bởi vì nó buộc chúng ta phải đối mặt với những vấn đề chuyển đổi từ vô thể tới bản thể, từ không tồn tại đến tồn tại. Nó khiến ta phải suy nghĩ về quá khứ lúc chúng ta chưa tồn tại và về tương lai khi chúng ta sẽ không còn nữa.

Do liên quan nhiều tới câu hỏi khoa học trong cuốn sách này, tôi sẽ dùng từ “chân không”, bởi vì nó ngầm định tới sự tồn tại trước của một không gian. Ý tưởng về một không gian ngầm định thực sự là cần thiết để mô tả tất cả các hiện tượng đã biết trong khoa học. Tuy nhiên, từ “hư vô” sẽ hữu ích khi các khái niệm về không gian không trực tiếp tham gia, mà thường là trường hợp trong một bối cảnh triết học.

Làm trống rỗng tâm trí

Hình dung hư vô không phải là điều dễ dàng: làm thế nào có thể tưởng tượng thứ không tồn tại? Bằng suy nghĩ, tôi có thể cố gắng loại bỏ được tất cả những thứ xung quanh mình: chiếc ghế nơi tôi ngồi, bàn nơi tôi viết, căn phòng, ngôi nhà, tất cả các ngôi nhà trong khu phố, cây cối, hoa và núi, thành phố, quốc gia, châu lục này, Trái Đất, Mặt Trời, hàng trăm tỷ ngôi sao trong dải Ngân Hà và hàng trăm tỷ thiên hà trong vũ trụ quan sát được. Cuối cùng xuất hiện trong tâm trí tôi một vũ trụ trống rỗng hoàn toàn, mà tôi tưởng tượng được bao bọc trong một sự im lặng nặng nề, chìm ngập trong bóng tối đen như mực và sự lạnh lẽo băng giá.

Nhưng khi xem xét một vũ trụ đang ngày càng trống rỗng, quá trình suy nghĩ của tôi không hề chậm lại, nó vẫn tiếp tục hoạt động. Và nếu nó không dừng lại, là bởi vì không thể ngăn chặn được suy nghĩ. Như George Steiner đã nhận xét rất đúng: “Có hai quá trình mà con người không thể dừng lại chừng nào họ sống: thở và suy nghĩ. Thật ra, chúng ta có thể giữ cho mình ngừng thở lâu hơn là nhịn suy nghĩ. Ngẫm lại thì, việc không có khả năng ngừng suy nghĩ, ngừng tư duy, là một hạn chế đáng sợ. ( 4 ) ” Trong ngữ cảnh này, cụm từ “làm trống rỗng tâm trí mình” sẽ được diễn giải sai nếu chúng ta hiểu nó theo nghĩa loại bỏ hoàn toàn các suy nghĩ ra khỏi tâm trí, vì nhiệm vụ này là bất khả thi. Trong thực tế, nên hiểu cụm từ này, như thường được viện dẫn trong ngữ cảnh thiền, không phải là dừng suy nghĩ lại mà là dừng các hành động và sự phân tâm, ngăn chặn sự hỗn loạn của suy nghĩ và tập trung vào khoảnh khắc hiện tại. Thiền định không phải là để ngăn chặn tất cả các suy nghĩ, một điều bất khả thi, mà là ngừng sự xáo động thường hằng của suy nghĩ để tìm đến sự thanh thản nội tâm; đó là chuyển đổi từ chế độ “làm” sang “tồn tại”; không phải dừng lại ở quá khứ hay nghĩ về tương lai, mà tập trung vào thời điểm hiện tại; là tập trung vào hơi thở và nhận thức được cơ thể và các đối tượng xung quanh; là để loại bỏ hoàn toàn tiếng ồn và sự giận dữ, để thoát khỏi sự ồn ào, hỗn loạn và cảm giác xáo động nhằm lấy lại khoảng trống của chánh niệm và sự chuyên chú hiện tại ( 5 ) .

Liệu hư vô có phải là một ý tưởng giả?

Triết gia Henri Bergson (1859-1941) mô tả thí nghiệm tưởng tượng của chính mình nhằm loại bỏ các thông tin tới từ các giác quan tấn công từ mọi phía và để khoanh vùng sự không tồn tại: “Tôi sẽ nhắm mắt, bịt tai, chặn dần các cảm giác đến với tôi từ thế giới bên ngoài: xong, toàn bộ nhận thức của tôi tan biến, và đối với tôi, vũ trụ vật chất biến mất trong im lặng và bóng đêm. Nhưng ông còn tiến xa hơn nữa. Thí nghiệm tưởng tượng của ông để hình dung ra hư vô đã dẫn đến kết luận đầy nghịch lý rằng dù có làm bất cứ điều gì đi nữa, ông cũng không thể hình dung nổi sự hủy diệt toàn bộ vật chất trong vũ trụ, bởi vì chắc chắn ông sẽ vấp phải chính mình, ý thức của mình, và chính sự tồn tại của mình: “Tôi vẫn còn tồn tại, và không thể ngừng tồn tại. Tôi vẫn ở đây, với các cảm giác hữu cơ đến với tôi từ ngoại biên cũng như từ bên trong cơ thể, với những kỷ niệm mà các nhận thức trong quá khứ để lại cho tôi, và cả những ấn tượng, tích cực và đầy đủ, về sự trống rỗng mà tôi vừa thực hiện xung quanh mình. Làm thể nào có thể loại bỏ tất cả những thứ đó? Làm thế nào để loại bỏ được chính bản thân mình?”

Bất chấp tất cả những nỗ lực để giảm bớt các cảm giác mà cơ thể gửi tới và để loại bỏ ý thức, chúng vẫn xuất hiện dai dẳng: “Tại đúng thời điểm mà ý thức của tôi bị tắt, thì một ý thức khác lại xuất hiện; hay đúng hơn là nó lại tự bật lên, và xuất hiện ngay trước đó để trợ giúp cho sự biến mất của cái đầu tiên... Và như vậy, bất chấp tôi làm gì, tôi luôn cảm nhận được điều gì đó, hoặc là từ bên ngoài hoặc từ bên trong. Khi tôi không còn biết gì về các đối tượng bên ngoài nữa thì nghĩa là tôi đang nương náu trong ý thức về chính bản thân mình; nếu tôi có xóa bỏ được nội tâm này, thì việc xóa bỏ sẽ trở thành một đối tượng tưởng tượng với tôi, và lần này, cảm nhận như là một đối tượng bên ngoài cái tôi đang biến mất. Dù bên ngoài hoặc bên trong, thì vẫn luôn có một đối tượng mà trí tưởng tượng của tôi hình dung.” Bởi vì không thể loại bỏ được ý thức của chính mình, triết gia này kết luận rằng “ý tưởng hư vô tuyệt đối, theo nghĩa xóa bỏ mọi thứ” là không có ý nghĩa, và là “một ý tưởng tự phá hủy chính mình, một ý tưởng giả, và đơn giản chỉ là một từ thông thường ( 6 ) ”. Đối với Bergson, ý tưởng hư vô không thể là một khái niệm có giá trị bởi mọi ý tưởng đều bao hàm ý thức. Nhưng ngay khi có ý thức mà nói về hư vô thì không có ý nghĩa.

Kết luận hư vô chỉ là một “ý tưởng giả, tự phá hủy mình” của triết gia này dựa trên giả thiết rằng vũ trụ luôn có các sinh vật có ý thức, có khả năng nhận thức được vẻ đẹp và sự hài hòa của nó. Điều này chắc chắn là đúng trong trường hợp của vũ trụ chúng ta tính đến thời điểm hiện tại, 13,8 tỷ năm sau Big Bang. Trên một hành tinh gọi là Trái Đất, hành tinh thứ ba của một ngôi sao được gọi là Mặt Trời, ở vùng ngoại ô của một thiên hà được gọi là Ngân Hà, sự sống đã được đánh thức cách đây 3,8 tỷ năm, còn ý thức thì xuất hiện khá lâu sau đó, chỉ cách đây khoảng một vài chục ngàn năm. Tôi định nghĩa ý thức ở đây như là khả năng tượng trưng hóa thế giới, và khả năng đặt các câu hỏi kiểu như, “Tôi đến từ đâu? Tôi sẽ đi đâu? Ý nghĩa cuộc sống của tôi là gì? Tôi sẽ như thế nào sau khi chết?”

Nhưng nếu vũ trụ của chúng ta hiện đang có chứa ít nhất một hình thức của ý thức, là chúng ta (có thể có các dạng sống thông minh khác trong vũ trụ, nhưng chúng ta không thể chắc chắn chừng nào chưa được tiếp xúc với ET – người ngoài hành tinh), thì có lẽ trong quá khứ đã từng có những giai đoạn vắng mặt ý thức. Vì vậy, chúng ta phải lần ngược trở lại 3,8 tỷ năm trong lịch sử vũ trụ, khi mà các tế bào sống đầu tiên xuất hiện trên Trái Đất. Và khi vũ trụ được sinh ra, cách đây khoảng 13,8 tỷ năm, lúc đó không có sự sống, con người, Trái Đất, hành tinh, Mặt Trời, các ngôi sao, thiên hà, nguyên tử hay thậm chí các hạt cơ bản. Với ý thức hiện nay, chúng ta cũng có thể hình dung rất rõ rằng thời kỳ nguyên thủy này khi mà chưa có gì tồn tại chính là hư vô. Nói cách khác, nếu ý thức, ban đầu vắng mặt, và sau đó xuất hiện trong lịch sử của vũ trụ, thì lập luận của Bergson chống lại ý tưởng hư vô không còn giá trị nữa.

Vũ trụ học hiện đại đã dạy chúng ta rằng sự xuất hiện của sự sống và do đó cả ý thức nữa phụ thuộc vào giá trị cực kỳ chính xác của mười lăm con số đặc trưng cho tự nhiên gọi là các “hằng số vật lý” – ví dụ như tốc độ ánh sáng, khối lượng và điện tích của electron – và các điều kiện ban đầu của vũ trụ, tức các thuộc tính mà vũ trụ sở hữu khi sinh ra như khối lượng và năng lượng nguyên thủy. Chỉ cần các hằng số vật lý và điều kiện ban đầu này thay đổi một chút thôi, là sự sống và ý thức sẽ không xuất hiện. Độ chính xác của sự điều chỉnh một số hằng số và điều kiện ban đầu là ngoài sức tưởng tượng. Ví dụ, chỉ cần thay đổi chữ số thập phân thứ 60 của mật độ ban đầu của vũ trụ, thì các ngôi sao sẽ không hình thành cũng như không thể tạo ra các nguyên tố nặng, bằng lò luyện hạt nhân, cần thiết cho sự sống và ý thức. Vũ trụ từ đó sẽ rất cần cỗi. Một số lý thuyết vật lý cho rằng có thể có một số vô hạn các vũ trụ khác tồn tại song song với vũ trụ của chúng ta, tạo thành một đa vũ trụ khổng lồ (ta sẽ quay lại khái niệm này sau). Trong các vũ trụ song song này, các hằng số vật lý và điều kiện ban đầu sẽ có tất cả các giá trị khả dĩ. Phần lớn các vũ trụ này có một tổ hợp các hằng số “thua” và sẽ không có sự sống và ý thức. Trong các thế giới này, hư vô đúng là một ý tưởng giả vì ở đó sẽ không có ý thức để nhận thức được nó. Nhưng trong vũ trụ của chúng ta, đó là một tổ hợp “thắng”, ở đó ý thức xuất hiện, và khái niệm hư vô không phải là một ý tưởng giả. Nó vẫn là một khả năng siêu hình thực cần phải khám phá.

Trong số tất cả các gương mặt mà con người – các nhà triết học, thần học, vũ trụ học và toán học – đã trao cho hư vô và chân không theo thời gian, chúng ta hãy bắt đầu với chân không toán học.

Vương quốc của zero

Trong thế giới toán học, chân không có dạng chính là số 0 (zero). Từ “zero” có nguồn gốc từ tiếng Ấn Độ là sunya nghĩa là “trống rỗng” hay “hư vô”. Dịch theo nghĩa đen, sunya sẽ thành sifr theo tiếng Ả Rập (cũng có nghĩa là “trống rỗng”) và thành zephirum theo tiếng Latin, đó chính là từ đã cho ra đời từ “zero”.

Khái niệm zero ngày nay đã rất quen thuộc với chúng ta, tuy nhiên không phải luôn là như thế. Từ lâu, đối với một số xã hội cổ xưa ở phương Tây, nó thể hiện một ý niệm nguy hiểm và đáng sợ, có thể làm phương hại đến cấu trúc của suy luận logic và do đó có thể làm lung lay chính các nền tảng của cả xã hội. Vì nguy cơ gắn với nó, nên phải mất rất lâu số 0 mới xác lập được dạng hiện nay của nó, mặc dù tư tưởng toán học này đã nảy sinh từ hàng chục ngàn năm với mong muốn của con người đo đếm những vật sở hữu (chẳng hạn các viên đá hay công cụ), các thực thể xung quanh (như cây hay chó sói), hay đơn giản chỉ là để đánh dấu thời gian trôi qua. Đếm chính là xác định số lượng các phần tử trong một tập hợp các vật và gán một con số cho số lượng đó. Ý tưởng về con số ngày nay dường như quá hiển nhiên, nhưng thực tế đó là kết quả của một quá trình dài trừu tượng hóa và chín muồi của trí lực, một con đường dài và đầy gian khổ của tư duy toán học qua nhiều thế kỷ. Cái mà với chúng ta chỉ là các phép tính đơn giản trong cuộc sống hằng ngày – cộng, trừ, nhân các con số để kiểm tra hóa đơn, bản thanh toán ở nhà hàng hoặc một tài khoản ngân hàng – thực ra là một thực tiễn đáng kinh ngạc chỉ xuất hiện rất muộn trong lịch sử nhân loại. Chúng ta sẽ thấy rằng những tính toán bằng văn bản, và chỉ bằng văn bản, với mười chữ số đại diện cho tất cả các con số trên thế giới, chỉ trở thành khả thể với việc phát minh ra số 0. Nhân loại cần tới hàng nghìn năm để học cách chuyển từ số lượng sang các con số và rồi phát minh ra số 0 để có thể viết ra tính toán.

Để biểu diễn số lượng bằng các con số, bước đầu tiên trong quá trình trừu tượng hóa là kết hợp cái khác biệt với cái tương tự. Con người phải tính tới sự tồn tại đơn lẻ của các vật, đồng thời phải có khả năng xóa bỏ các khác biệt cụ thể của chúng. Ví dụ, để đếm số cừu trong bầy, mục đồng phải thừa nhận rằng tất cả các con cừu là cùng một loài, mặc dù mỗi con đều có những khác biệt về tính chất vật lý: như mỗi con cừu có khối lượng, kích thước riêng, v.v...

Sau đó, còn phải xây dựng một hệ đếm. Con người thuộc những nền văn minh nhân loại sớm nhất, thời kỳ đồ đá, đã đếm bằng cách khắc lên một vật cứng, mỗi vết khắc tương ứng với một đơn vị của tập hợp. Vật cứng được sử dụng đôi khi là gỗ hoặc đá, nhưng thường hơn cả là xương động vật vì chúng bền hơn với sự tàn phá của thời gian và độ ẩm. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy những “khúc xương đánh sổ” mang các vết khắc có niên đại gần ba mươi ngàn năm.

Ban đầu, hệ thống đếm rất thô sơ. Người thượng cổ chỉ biết phân biệt “một” và “nhiều”. Theo thời gian, cách đếm đã trở nên có tính kiến tạo hơn – “một”, “hai” và “nhiều” rồi “một”, “hai”, “ba” và “nhiều” – nhưng không tiến xa hơn. Rất nhiều ngôn ngữ nguyên thủy không có từ ngữ cho các số lớn hơn 3. Thậm chí hiện nay điều này vẫn còn đúng đối với một số bộ lạc da đỏ Nam Mỹ.

Con người cũng sử dụng cơ thể của mình để đếm. Không phải là các vết cắt như với trường hợp của xương, gỗ hoặc đá, mà là làm tương ứng một con số với một số bộ phận cơ thể. Ví dụ, các ngón tay ứng với số 5. Nhiều nền văn minh đã phát triển một hệ thống rất phức tạp dựa trên cử chỉ của các ngón tay được sắp đặt khác nhau: duỗi dài, uốn cong hoặc gập, mỗi tổ hợp vị trí của các ngón tay gắn với một số khác nhau. Hệ thống đếm này có thể biểu diễn một lượng rất lớn (hình bên). Chẳng hạn, vào thế kỷ 16, sử dụng một cách “tính số” dựa trên các ngón tay của cả hai bàn tay, người Trung Quốc có thể biểu diễn được các số vượt quá một tỷ! Trong khi một số các hệ đếm dùng cơ số 5, theo số lượng ngón tay trên một bàn tay, thì hệ đếm hiện tại của chúng ta (và của nhiều nền văn hóa khác) dùng cơ số 10, tức là ta đếm theo nhóm đơn vị (hoặc gói) mười, tức tổng số ngón tay. Một số bộ lạc da đỏ sử dụng hệ đếm theo cơ số 8: thoạt nhìn có vẻ lạ lùng nhưng sẽ không lạ nữa khi bạn nhận ra rằng đây là tổng các khoảng giữa mười ngón tay của chúng ta.

Hình vẽ cho thấy cách sử dụng các ngón tay của cả hai bàn tay để tính số: các ngón của bàn tay trái để tính hàng đơn vị và hàng chục, và các ngón bàn tay phải để tính hàng trăm và hàng ngàn, và các vị trí khác nhau của tay đối với một số bộ phận cơ thể để tính hàng chục ngàn và trăm ngàn.

Một bước quyết định trong việc xây dựng hệ đếm là chuyển từ các con số sang chữ số, với chữ số là các biểu tượng được dùng để biểu diễn con số. Chẳng hạn, hệ đếm hiện tại của chúng ta được dựa trên các chữ số “Ả Rập” 1, 2, 3... 9, cùng với số 0 nổi tiếng. Nhưng có những nền văn minh khác không sử dụng các chữ số như các biểu tượng, mà dùng hình vẽ của các vật. Ví dụ, một trong những cách đánh số lâu đời nhất được biết tới là cách đếm của người Sumer vào khoảng năm 3000 trước CN, họ sử dụng hình vẽ một cái đinh để biểu diễn đơn vị và một cái giùi để biểu diễn một chục (xem hình vẽ). Người Sumer không chỉ sử dụng hệ thập phân mà còn sử dụng cả hệ 60. Hiện nay chúng ta vẫn sử dụng hệ 60 để đếm thời gian, một giờ có giá trị là sáu mươi phút và một phút là sáu mươi giây.

Hệ đếm tượng hình của người Ai Cập, được phát triển vào cùng khoảng thời gian đó, cũng dựa trên hệ thập phân, và sử dụng một chuỗi các hình vẽ: ví dụ, một thanh dọc thể hiện đơn vị, một hình quai thể hiện chục, một sợi dây cuộn lại là trăm, một bông hoa sen là ngàn, một ngón tay dựng thẳng là vạn (mười ngàn), một con ếch là một trăm ngàn và một người đàn ông giơ hai tay lên trời là triệu ( 7 ) (xem hình). Trong các hệ đếm này, biểu tượng đóng vai trò như các chữ cái của bảng chữ cái đối với chữ viết. Nhưng tất cả các hệ thống này đều thiếu số 0!

Sau khi đã thiết lập các dấu hiệu và biểu tượng, cần phải xây dựng một quy ước để sắp xếp chúng theo không gian nhằm biểu diễn một số, hoặc ngược lại, để giải mã cách biểu diễn của số. Việc bố trí theo không gian của chữ số hoặc biểu tượng luôn luôn là tuyến tính, các dấu hiệu được triển khai theo chiều ngang hoặc theo chiều dọc, với một hướng đọc xác định trước. Quy luật này dựa trên cái được gọi là nguyên tắc cơ số”, nghĩa là thay vì phải đếm bằng đơn vị (1 + 1 + 1...), ta có thể đếm theo các nhóm hoặc các gói. Điều này cho phép rút ngắn đáng kể việc viết các số lớn. Cơ số ở đây có thể là bất kỳ số nào. Cơ số phổ biến nhất được sử dụng là cơ số thập phân: chẳng hạn, với hệ thập phân, số 121 là bằng 1 + 2 x 10 + 1 × 10 2 và có giá trị là 121 đơn vị. Đây là cơ số chúng ta sử dụng ngày nay. Nhưng việc áp dụng hệ thập phân không phải là phổ quát. Người Maya đã sử dụng cơ số 20, trong khi người Sumer, như chúng ta đã thấy, sử dụng cơ số 60. Tùy thuộc vào cơ số sử dụng mà cùng một số sẽ có giá trị khác nhau. Chẳng hạn, trong hệ nhị phân (cơ số 2), số 121 là 1 + 2 x 2 + 1 x 2 2 , chỉ có chín đơn vị thay vì 121 đơn vị trong hệ thập phân.

Trong đại đa số các hệ đếm, giá trị của một chữ số không phụ thuộc vào vị trí nó đứng trong cách biểu diễn của số đó. Ví dụ, trong cách đếm số La Mã, I là 1 và V là 5 bất kể chúng đứng ở đâu khi viết. Nghĩa là vị trí của chữ số không được tính – theo cả nghĩa đen lẫn nghĩa bóng. Chẳng hạn, số 4 được viết là IV, số 6 là VI, thứ tự của các biểu tượng chỉ ra rằng cần lấy 5 trừ đi 1 (I trước V) hay là cộng 1 với 5 (I sau V). Tương tự, vị trí của chữ số không quan trọng trong hệ đếm tượng hình Ai Cập. Ví dụ, số 22 có thể được biểu diễn bằng một trong hai cách:

Tất cả đã thay đổi với việc phát minh ra cách đếm theo vị trí. Thay vì các chữ số (hoặc ký hiệu) có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của chúng trong cách viết một số, mỗi chữ số bây giờ được gán cho một giá trị không phải là bất biến, mà thay đổi tùy theo vị trí của nó trong con số đó. Trong sơ đồ này, vị trí đóng vai trò rất quan trọng, nó mới đúng là đếm. Làm thế nào để gán giá trị cho mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó trong con số? Quy tắc rất đơn giản: mỗi vị trí tương ứng với một lũy thừa nhất định của cơ số. Lấy ví dụ số 333 trong hệ đếm thập phân của chúng ta. Chữ số đầu tiên là 3 có giá trị là 3 × 10 2 = 300, chữ số thứ hai là 3 × 10 1 = 30 và chữ số cuối cùng 3 × 10 0 = 3 (vì 10 0 = 1). Giá trị của số 333 là 300 + 30 + 3, hay ba trăm ba mươi ba đơn vị. Tương tự, trong một hệ cơ số 5, chữ số đầu tiên sẽ là 3 × 5 2 = 75, chữ số thứ 2 là 3 × 5 1 = 15 và chữ số cuối cùng 3 × 5 0 = 3. Số 333 bây giờ sẽ có giá trị là chín mươi ba đơn vị. Trong một hệ đếm theo vị trí, không cần thiết phải có các biểu tượng khác nhau biểu diễn hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, v.v..., vì vị trí của biểu tượng khi viết số đã có chức năng này (nếu người Ai Cập biết nguyên tắc vị trí, họ sẽ không cần phải vẽ hình quai để chỉ hàng chục hoặc một bông hoa sen để mô tả hàng ngàn), mà chỉ cần tới những chữ số hoặc biểu tượng biểu diễn các chữ số dưới 10.

Chính cách đếm theo vị trí sẽ tạo ra số 0. Tại sao lại như thế. Cần phải hiểu rằng trước khi phát minh ra số 0, việc viết các số trong những hệ đếm đang tồn tại, nói chung không tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán. Bàn tính (xem hình) hay quipu (dây thắt nút của người Inca vào khoảng thế kỷ 18) lại giúp ích rất nhiều cho con người trong tính toán. Nguyên tắc vị trí đã được sử dụng trong các công cụ tính toán khác nhau này cho phép thực hiện các phép tính sơ cấp như cộng, trừ, nhân hoặc chia. Để chuyển dạng biểu diễn một số trên bàn tính sang dạng viết, chỉ cần xóa các cột hay thanh dọc của bàn tính và thay thế các hạt, nút thắt và các đối tượng khác xâu trong thanh dọc hoặc dóng trong các cột bằng các ký hiệu viết. Nhưng một câu hỏi được đặt ra là: làm thế nào để biểu diễn một chỗ trống trong một cột hoặc sự vắng mặt của một hạt trên thanh dọc? Bằng một biểu tượng chỉ sự trống rỗng hoặc sự vắng mặt: đó chính là số 0. Số này nhất thiết không thể thiếu với bất kỳ hệ đếm theo vị trí nào. Hãy xét ví dụ số 2016. Nếu không có số 0, làm thế nào chỉ ra hàng trăm là không “tính”, và chữ số 2 ở trước số 0 là hàng ngàn và số 1 ở sau là hàng chục?

Bàn tính (ở đây là một bàn tính Trung Quốc) cho phép bạn thực hiện các phép tính số học sơ cấp như cộng, trừ, nhân hoặc chia. Việc tính toán được thực hiện bằng cách di chuyển các hạt trên các thanh song song, đòi hỏi nhiều sự khéo léo.

Trong lịch sử toán học có ba số không. Số đầu tiên ra đời vào khoảng năm 300 trước CN bởi người Babylon. Họ sử dụng một hệ đếm theo cơ số 60 và biểu diễn các chữ số tương tự người Sumer. Chẳng hạn, một cái đinh biểu diễn đơn vị và hình chữ V xoay ngang là hàng chục. Nhưng người Babylon nhận ra rằng nếu không có một biểu tượng biễu diễn số không, thì kiểu biểu diễn số này có thể dẫn đến sự nhầm lẫn trong việc đọc các con số. Ví dụ, hai cái đinh thẳng đứng liên tiếp nhau biểu diễn số 61 (1 x 60 + 1). Tuy số 3601 cũng được biểu diễn bởi hai cái đinh dọc, cách nhau bằng một không gian lớn hơn so với trường hợp của 61 để chỉ ra rằng số hàng chục là không có (60 x 60 x 1 + 60 x 0 + 1 = 3601). Đánh giá độ lớn của khoảng ngăn cách mang nhiều tính chủ quan và có khả năng gây nhầm lẫn, nên người Babylon đã đưa vào một dấu hiệu phân cách, nghĩa là “zero” trong cách viết các số. Số không này được biểu diễn bằng một cặp đinh in nghiêng. Khi đó sự nhầm lẫn đã được loại bỏ: hai cái đinh thẳng đứng liên tiếp biểu diễn số 61, trong khi hai cái đinh thẳng đứng ngăn cách bởi một cặp đinh nghiêng biểu diễn số 3601.

Số không thứ hai bước lên sân khấu là của người Maya. Nó xuất hiện vào thiên niên kỷ đầu tiên của chúng ta (500-925). Sử dụng hệ đếm cơ số 20, người Maya cũng cần tới một dấu hiệu phân cách, trong trường hợp này là hình con sò, để loại bỏ mọi nhầm lẫn trong việc viết các con số. Nhưng số không của người Babylon và người Maya chủ yếu đóng vai trò đánh dấu các vị trí rỗng trong khi viết các con số. Chúng chưa bao giờ được coi là một con số độc lập. Chúng không có sự tồn tại thực sự và là vô nghĩa. Chúng chỉ có nghĩa khi có các ký hiệu đứng trước hoặc sau chúng.

Người cầm tiếp bó đuốc trong cuộc thi chạy tiếp sức này là các nhà toán học Ấn Độ. Lấy cảm hứng từ hệ đếm theo vị trí và số không của người Babylon mà họ đã học được trong cuộc xâm lược Ấn Độ của Alexander Đại đế và đội quân của ông ta vào thế kỷ 4 trước CN, họ đã cho số không tất cả các thuộc tính của một con số thực thụ và làm cho nó hiện ra trong toàn bộ sự vinh quang của nó. Đây chính là số không mà chúng ta vẫn sử dụng ngày nay. Từ sunya (trống không) xuất hiện lần đầu tiên vào năm 458 trong một chuyên luận về vũ trụ học của Ấn Độ viết bằng tiếng Phạn, có tên là Lokavibhaga , nghĩa là “Các thành phần của vũ trụ”. Chuyên luận này là tài liệu cổ xưa nhất được biết đến trong đó xuất hiện một con số được viết theo nguyên tắc đếm theo vị trí. Đó là số 14 236 713 theo cách viết của chúng ta ngày hôm nay (trên thực tế, trong văn bản, các chữ số được ghi hoàn toàn bằng chữ, từ phải sang trái: “ba, một, bảy, sáu, ba, hai, bốn, một”). Những chữ số từ 1 đến 9 đã được phát minh ở Ấn Độ trước CN. Với việc bổ sung số 0 vào thế kỷ 5 và sử dụng cơ số thập phân, hệ đếm theo vị trí của Ấn Độ đã vươn đến một giai đoạn quyết định mới. Từ nay, mười con số quen thuộc với chúng ta, như các ngón tay của cả hai bàn tay, đủ để biểu diễn tất cả các số trên thế giới. Khả năng biểu diễn của hệ này là không giới hạn. Các ký hiệu được vẽ để biểu diễn mười con số đã loại bỏ hoàn toàn khả gây nhầm lẫn. Trên thực tế, 2 hay 3, hoặc 4 không phải là sự nhóm lại của 1 như trong ba hệ đếm khác theo vị trí ở trên. Đặc tính này đã trao cho mỗi ký hiệu một sự độc lập hoàn toàn và làm cho mỗi lắp ghép các chữ số tương ứng với một và chỉ một con số, và ngược lại. Cách viết các chữ số như thế này đã thiết lập một cách tự động mối liên hệ giữa kích thước của một số với chiều dài tên của số đó. Điều này phủ hợp với trực giác của chúng ta: biểu diễn của số càng dài thì số đó càng lớn. Ví dụ, số 1005 lớn hơn và dài hơn số 18. Điều này hoàn toàn không đúng với trường hợp các số La Mã, ví dụ, số 1005 được viết là MV (hai ký hiệu) trong khi 18 được viết là XVIII (năm ký hiệu).

Như có phép thần, hệ đếm theo vị trí tuyệt vời này, cùng với số 0 đưa ra bởi các thiên tài toán học Ấn Độ, đã xóa bỏ khoảng cách giữa viết và tính toán. Không cần phải sử dụng bàn tính hay dây thắt nút nữa. Cách tính toán viết phát sinh từ hệ thống này có thể thực hiện các tính toán phức tạp nhất chỉ với một cây bút và một tờ giấy cói! Những phẩm chất phi thường này đã làm cho hệ đếm Ấn Độ giờ đây trở nên phổ biến.

Nỗi sợ hãi zero và vô hạn

Tuy nhiên, một câu hỏi lại được đặt ra: tại sao số không lại được sinh ra ở Ấn Độ chứ không phải ở phương Tây? Trong giai đoạn từ thế kỷ 6 trước CN tới thế kỷ 5, người Hy Lạp vẫn có những bước tiến lớn trong lĩnh vực toán học. Đặc biệt, họ đã đặt nền tảng đầu tiên cho lý thuyết số. Thế mà tại sao họ lại không đi tới số không? Câu trả lời có lẽ nằm trong nỗi sợ hãi siêu hình đối với con số này. Đối với các nhà toán học Hy Lạp, ngay ý tưởng về số không đã bị ghét cay ghét đắng, bởi vì làm thế nào “không có gì” lại có thể là “cái gì đó” cơ chứ? Đầu tiên, số không khơi dậy trong họ ý tưởng về sự khởi đầu của vũ trụ, tức là sự trống rỗng và hỗn độn nguyên thủy, và điều này đã gây ra nỗi khiếp sợ. Nhưng đặc biệt là các tính chất toán học của số không với họ dường như rất kỳ lạ vì chúng rất khác so với bất kỳ số nào khác. Cộng một số (khác 0) với chính nó, số đó sẽ thay đổi. Ví dụ, 2 + 2 = 4 và 3 + 3 = 6. Nhưng cộng số không với chính nó, bạn sẽ luôn nhận được số không. Điều này đi ngược lại tiên đề của Archimedes (khoảng 287-212 trước CN) nói rằng nếu bạn cộng một số với chính nó nhiều lần, bạn có thể nhận được một số lớn tùy ý. Ngoài ra, số không kiên quyết từ chối làm thay đổi bất kỳ số nào, dù là để số đó tăng lên hoặc giảm đi: cộng hoặc trừ số không với bất kỳ số nào bạn sẽ nhận được chính xác chính số đó.

Các thuộc tính mô tả ở trên có thể dẫn chúng ta đến ý nghĩ rằng số không là bất lực, nó không có bất kỳ nội dung gì. Tuy nhiên, khi dùng nó trong các phép toán đơn giản nhất, như nhân và chia chẳng hạn, nó sẽ làm đảo lộn tất cả những định kiến của chúng ta. Chẳng hạn, nhân bất kỳ số nào với số không, bạn sẽ luôn nhận được số không. Tất cả số đều được quy giản thành một số duy nhất: số không. Phép tính ngược lại, phép chia cho số không thậm chí còn kinh hoàng hơn vì nó dẫn tới... vô cùng. Ngược lại, chia bất kỳ số nào cho vô cùng, bạn sẽ nhận được số không. Như chúng ta đã thấy, giống với cặp đôi Âm-Dương, số không và vô hạn gắn bó rất chặt chẽ với nhau.

Nỗi sợ số không của người Hy Lạp một phần gắn với nỗi hoảng sợ cái vô hạn. Sự nghi hoặc của họ về vấn đề này rất mãnh liệt bởi vì, như số không, cái vô hạn cũng vô tư coi khinh tất cả các quy tắc thông thường của số học: bỏ đi một đại lượng vô hạn từ một đại lượng vô hạn khác, kết quả nhận được không phải là một số nhỏ hơn mà vẫn là vô hạn. Lấy ví dụ như dãy vô hạn các số nguyên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Bỏ đi tất cả các số chẵn 0, 2, 4, 6... là dãy vô hạn, bạn sẽ còn lại tất cả số lẻ 1, 3, 5..., và nó vẫn là một dãy vô hạn ( 8 ) !

Nhà toán học Hy Lạp Zeno xứ Elea (495-435 trước CN) kiên trì đắm đuối với những nghịch lý về vô hạn. Là một đệ tử của triết gia Parmenides (khoảng 515- 440 trước CN), người phủ định mọi ý niệm của sự thay đổi (theo trường phái này, thế giới đã, đang và sẽ luôn là như thế), Zeno đã cố gắng chứng minh mệnh đề này theo bốn mươi cách khác nhau, trong đó có hai cách được gọi là “nghịch lý Zeno”, đã sống sót tới ngày nay. Chúng dựa trên những bí ẩn của cái vô hạn. Trong nghịch lý đầu tiên của mình, Zeno tự đề xuất sẽ chứng minh rằng chuyển động là không thể. Ông tưởng tượng vận động viên chạy từ điểm này đến điểm khác và phân tích chuyển động của người này một cách chi tiết: người này đầu tiên phải đi hết nửa khoảng cách giữa hai điểm, sau đó một nửa khoảng cách còn lại, sau đó lại một nửa khoảng cách còn lại, và cứ như thế đến vô cùng. Bởi vì vận động viên phải thực hiện một số vô hạn các bước, nên Zeno kết luận rằng người đó không bao giờ có thể tới được đích của mình và rằng chuyển động là không thể. Từ các luận cứ đơn giản có vẻ không thể bác bỏ được như vậy, Zeno đã đi đến một kết luận không có ý nghĩa. Chúng ta biết rằng vận động viên sẽ đến đích trong một thời gian hữu hạn. Bí ẩn của nghịch lý này sẽ được giải quyết rất lâu sau này, cùng với việc nghiên cứu các chuỗi vô hạn. Nếu thời gian để vận động viên đi hết mỗi khoảng cách thêm trở nên ngày càng ngắn và có xu hướng tiến tới 0, như trường hợp ở đây, thì thời gian cần thiết để tới đích không phải là vô hạn mà là hữu hạn. Người Hy Lạp, do không có khái niệm về số không, nên không thể tìm ra lời giải.

Nghịch lý thứ hai của Zeno dựng cảnh một cuộc chạy đua giữa lực sĩ Achilles và con rùa. Thoạt nhìn, những lập luận dường như cũng không kém phần thuyết phục. Zeno chứng minh rằng con rùa không bao giờ bị Achilles đuổi kịp, bởi Achilles trước tiên phải đến được vị trí mà con rùa vừa rời khỏi, vì vậy kẻ chạy chậm vẫn luôn có một khoảng cách nhất định so với người chạy nhanh hơn. Nhà văn Argentina Jorge Luis Borges đã mô tả nghịch lý này như sau: “Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và cho con rùa dẫn trước mười mét. Achilles chạy được mười mét, con rùa chạy được một; Achilles chạy thêm một mét, con rùa đi thêm một decimet; Achilles chạy được một decimet, con rùa đi được một centimet; Achilles đi qua centimet này, thì rùa lại đi được một milimet; Achilles chạy thêm một milimet, con rùa đi thêm một phần mười của milimet, và cứ như thế đến vô cùng mà Achilles không bao giờ có thể đuổi kịp...” Một lần nữa, lập luận dường như không thể bác bỏ đã dẫn đến một kết luận vô lý: Achilles không bao giờ chạy vượt qua con rùa! Nhưng một lần nữa, lời giải tới từ thực tế là khoảng cách liên tiếp mà Achilles chạy qua nhỏ dần và tiến tới 0, do đó quãng đường tổng cộng mà Achilles đi được là tổng của một số vô hạn các khoảng cách nhưng tổng này không phải là vô hạn mà là hữu hạn. Điều này khiến cho Achilles có thể bắt kịp và vượt qua con rùa một khoảng thời gian hữu hạn.

Những nghịch lý này dường như trái với lẽ phải thông thường và chưa được người Hy Lạp giải quyết đã gieo vào tâm trí họ nỗi lo âu và nghi hoặc đối với cái vô hạn và gã tiểu đồng của nó là số không. Với Aristotle (384-322 trước CN), bằng mọi giá phải tránh xa chúng. Những thực thể dường như thách thức lý trí và logic này chỉ mang tới những rủi ro gieo rắc hoang mang trong dân chúng và gây ra những bất ổn xã hội. Uy tín tư tưởng của Aristotle lớn tới mức việc xua đuổi cái vô hạn và số không đã được chấp nhận vô điều kiện ở phương Tây trong suốt hai mươi thế kỷ sau đó. Và số không không thể có bất kỳ cơ hội nào để xuất hiện ở đó.

Nhưng ở phương Đông lại không phải như thế. Trong khi các khái niệm trống rỗng hay chân không và hư vô gây ngờ vực và sợ hãi ở phương Tây ( 9 ) , chúng lại được chào đón với vòng tay rộng mở bởi nền văn minh Ấn Độ. Thực tế, sự trống rỗng đóng một vai trò quan trọng trong Hindu giáo. Thần Shiva đồng thời là đấng sáng thế và cũng là kẻ phá hủy thế giới, một trong bốn tay cầm một cái trống nhỏ tượng trưng cho âm nhạc sáng tạo, và một tay cầm lưỡi lửa cho thấy trước cái chết sắp tới của vũ trụ (xem hình). Nhưng Shiva cũng đại diện cho sự trống rỗng tối thượng đã sinh ra vũ trụ. Bởi vì tư tưởng Ấn Độ chấp nhận sự trống rỗng, nên số không đã ra đời dưới dạng huy hoàng nhất của nó ở Ấn Độ cũng là điều thật tự nhiên.

Vũ điệu thần Shiva. Shiva nhảy múa trên một hình dạng phủ phục đại diện cho sự bất tri, được bao quanh bởi một quầng lửa (trực giác gần với lý thuyết Big Bang theo đó vũ trụ bắt đầu với một trạng thái cực kỳ nóng) nổi lên từ một đóa sen, biểu tượng của tri thức.

Số không Ấn Độ chinh phục thế giới

Hai thế kỷ tiếp theo sau khi người Ấn Độ phát minh ra hệ đếm theo vị trí có cả số không, đã xảy ra sự suy yếu và sụp đổ của đế chế La Mã, đồng thời với sự lớn mạnh của đế chế Ả Rập. Ngay từ năm 751, đế quốc Ả Rập đã trải dài về phía Tây tới tận Tây Ban Nha và về phía Đông tới Ấn Độ. Vào năm 773, một phái đoàn Ấn Độ đã đệ trình tới khalifa của Bagdad một công trình quý giá của Ấn Độ về tính toán và các con số. Đại thư viện mà nhà vua ở đây lập ra vào thế kỷ 9, Ngôi nhà của trí tuệ, đã trở thành trung tâm tri thức lớn của phương Đông. Chính tại đó, trong những thập niên đầu của thế kỷ này, nhà toán học Ả Rập Muhammad ibn Musa al-Khuwarizmi (khoảng 780-850) đã viết cuốn sách nổi tiếng Sách về phép cộng và trừ theo cách tính của người Ấn Độ , trong đó ông giải thích cách thức sử dụng hệ đếm Ấn Độ với số không và đưa ra các phương pháp để người đọc có thể làm các phép tính (chẳng hạn phép nhân và phép chia) một cách nhanh chóng. Cuốn sách này đã đặc biệt góp phần phổ biến hệ đếm Ấn Độ trong thế giới Hồi giáo. Không phải các nhà bác học Ả Rập không biết đến các tư tưởng của Aristotle và ác cảm của ông với cái vô hạn và chân không, nhưng họ không ngần ngại chấp nhận khái niệm số không của người Ấn Độ như là một biểu hiện của cái Không.

Nhưng phương Tây, dưới sự chi phối của tư tưởng Aristotle, lại rất chậm chạp. Ba thế kỷ trôi qua trước khi bản dịch đầu tiên sang tiếng Latin của cuốn sách của Al-Khuwarizmi xuất hiện. Được tái dịch rất nhiều lần sau đó, cuốn sách này đã đóng một vai trò quan trọng trong việc truyền bá tri thức tính toán của người Ấn Độ ở phương Tây Thiên Chúa giáo. Hệ đếm của người Ấn đã truyền lan như đám cháy rừng qua Tây Ban Nha, Anh quốc và phần còn lại của châu Âu bất chấp sự ngăn cản của Giáo hội, vẫn chịu sự thống trị của tư tưởng Aristotle. Nhưng các thành trì của Aristotle bắt đầu rạn vỡ một cách nghiêm trọng dưới các cuộc tấn công không ngừng. Vào năm 1277, Tổng giám mục của Paris là Estienne Tempier quyết định loại bỏ một số giáo điều Aristotle mâu thuẫn trực tiếp với ý tưởng một Chúa Trời vạn năng. Đặc biệt, việc cấm cái Không đã bị bãi bỏ: Chúa có thể tùy thích tạo ra cái Không, ngài không bận tâm gì tới sự cấm đoán của Aristotle hết. Nhưng sự ngăn cản của Giáo hội vẫn tiếp tục kéo dài vài thế kỷ nữa. Cho tới tận năm 1543, cuộc cách mạng Copernicus đã xóa bỏ toàn bộ tư tưởng vũ trụ học của Aristotle. Nhưng dẫu sao thì, cuốn sách của Al-Khuwarizmi ở phương Tây đã có tác động mạnh mẽ tới mức các phương pháp tính được mô tả bởi nhà toán học người Ả Rập này đã được gọi là “algorithm”, theo từ algorismus là từ Latin hóa tên của ông. Nói một cách tổng quát hơn, từ “algorithm” ngày nay mô tả một chuỗi hữu hạn các lệnh cho phép giải một bài toán.

Xuất phát từ Trung Đông, các chữ số Ấn Độ đã lan khắp đế chế Ả Rập rồi tới bán đảo Iberia. Các thương nhân và ngân hàng châu Âu cũng rất vui mừng khi phát hiện ra hệ thống này, họ bị mê hoặc bởi sự dễ dàng trong việc sử dụng và thực hiện các phép tính, và sung sướng khi có thể vứt bỏ bàn tính và các công cụ khác. Mặc dù ban đầu các cơ quan hành chính khá ngần ngại (như thành phố Florentina ở Italy đã cấm sử dụng chữ số Ả Rập vào năm 1299 với lý do số 0 quá dễ dàng bị sửa thành số 6, bằng cách vẽ thêm vào 1 nét), nhưng các lý lẽ về lợi thế thương mại mà các thương gia đưa ra cuối cùng đã chiến thắng ( 10 ) . Hệ đếm Ấn Độ cùng với số 0 đã được thiết lập ở châu Âu và ngày nay nó được chấp nhận một cách không có ngoại lệ ở tất cả các quốc gia trên Trái Đất.

Cần biết rằng cách viết các chữ số đã tiến hóa trong cuộc hành trình dài theo không gian và thời gian (khoảng 8 thế kỷ để đi từ Ấn Độ tới Tây Ban Nha). Hình dạng của chúng cũng đã thay đổi so với ban đầu. Cách viết các chữ số mà ta sử dụng hiện nay thực ra không phải tới từ Ấn Độ hay phương Đông Ả Rập mà tới từ Tây Ban Nha, do người Moor. Chúng được biết đến dưới cái tên “chữ số ghobar” (xem hình).

Theo thời gian, nguồn gốc Ấn của hệ đếm có số không đã phai mờ trong trí nhớ của mọi người. Các chữ số Ấn Độ dần dần trở thành cái gọi là chữ số Ả Rập và số không được xem là một sáng kiến Ả Rập. Thế nhưng cần phải trả lại cho người Ấn những gì là của họ: một hệ đếm theo vị trí tuyệt vời chỉ dựa trên 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể biểu diễn mọi con số, điều này đã cho phép xóa bỏ khoảng cách giữa cách viết và tính toán.