PHẦN 4: VÁN CƯỢC ST. PETERSBURG Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782) xuất thân từ gia đình của những thiên tài thế kỷ XVIII nhưng lại rất thích đấu đá lẫn nhau. Chính Jakob, bác của Daniel là người tìm ra Luật số lớn. Jakob dạy kèm môn Toán cho em trai Johann. Johann cũng thông minh như Jakob, nhưng lại là một kẻ khoác lác. Tiếc thay, anh em nhà Bernoulli lại quen đấu đá lẫn nhau khi nghiên cứu về cùng một đề tài. Họ dùng ngòi bút công kích nhau kịch liệt.

Johann trở thành một kẻ ích kỉ, điều đó làm cho Daniel - con trai ông ta, rất thất vọng. Daniel vừa là một nhà toán học vừa là một nhà vật lý học. Anh xuất bản một cuốn sách nổi tiếng phân tích về bài faro thường thấy trong các sòng bạc và tìm ra "hiệu ứng Bernoulli" về sau này được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp chế tạo cánh máy bay. Trước những thành công của đứa con trai Daniel, Johann chẳng mấy vui vẻ gì. Khi hai cha con cùng được nhận giải thưởng Khoa học của Viện hàn lâm Pháp vào năm 1734, Johann đã tống Daniel ra khỏi nhà vì cho rằng lẽ ra chỉ một mình lão ta xứng đáng nhận giải thưởng ấy. Năm 1738, Daniel xuất bản một cuốn sách rất có ý nghĩa Thủy lực học (Hydraulica). Ngay năm sau, cha anh xuất bản một cuốn gần giống như vậy, lấy tên mình nhưng lại cố tình in sai năm xuất bản thành 1732. Với mánh khóe này, Johann chỉ trích Daniel ăn cắp ý tưởng của lão ta.

Có một điều chắc chắn rằng Daniel đã rời bỏ cha mình để đến sống ở vùng St.Peterburg xa xôi. Ở đó, Daniel làm việc tại tòa án Westernizing Russian và năm 1738, ông viết một bài báo có ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc các nhà kinh tế học thế kỷ XX tiếp nhận những ý kiến của Claude Shannon và John Kelly như thế nào. Bài báo phân tích một ván cược do Nicolas - một thành viên tài năng khác của dòng họ Bernoulli, nghĩ ra. Nicolas là tiến sĩ Luật của trường Đại học Basel và là em họ của Daniel. Ván cược này là một trò chơi ăn đôi khiến ta nhớ lại cảm giác khi tham gia trò chơi trắc nghiệm trên truyền hình "Câu hỏi trị giá 64.000 đô la" của Kelly. Daniel viết:

"Peter tung đồng xu và tiếp tục làm như vậy cho đến khi được mặt ngửa. Peter đồng ý trả cho Paul 1 ducat nếu được mặt ngửa ở lần tung thứ nhất, 2 ducat nếu được mặt ngửa ở lần tung thứ hai, 4 ducat nếu được mặt ngửa ở lần tung thứ ba, 8 ducat nếu được mặt ngửa ở lần tung thứ tư,... và cứ như vậy sao cho cứ mỗi lần tung thêm thì số đồng ducat Peter trả cho Paul tăng gấp đôi. Ta hãy tìm xem số tiền Paul mong muốn nhận được là bao nhiêu."

Vậy trung bình, Paul mong nhận được bao nhiêu tiền? Muốn tìm tỉ lệ xảy ra của một biến ngẫu nhiên ta nhân xác suất của nó với giá trị của tỉ lệ đó. Xác suất được mặt ngửa ở lần tung thứ nhất là 1/2 và Paul sẽ nhận được 1 đồng ducat (đồng tiền vàng, tương đương 40 đô la ngày nay). Nhân 1/2 với 1 ducat ta được giá trị kỳ vọng là 1/2 ducat.

Nhưng điều này chỉ đúng khi ta được ngay mặt ngửa ở lần tung đầu tiên. Còn có nhiều cách khác để Paul được tiền nữa. Nếu lần tung đầu tiên được mặt sấp, Peter sẽ tung lại. Nếu lần tung thứ hai là mặt ngửa, Paul nhận được 2 ducat. Xác suất thắng được 2 ducat là 1/4 bởi vì nó đòi hỏi: lần tung thứ nhất phải là mặt sấp (xác suất 1/2) và lần tung thứ hai phải được mặt ngửa (xác suất 1/2). 1/4 x 2 ducat cho ta 1/2 ducat.

Cứ như thế, xác suất được 4 ducat là 1/8, giá trị kỳ vọng của nó là 1/2 ducat, xác suất được 8 ducat là 1/16, giá trị kỳ vọng của nó là 1/32 ducat,... Tất cả các kết quả giả định này đều có kỳ vọng là 1/2 ducat. Do vậy, tổng số tiền Paul mong muốn nhận được sẽ là tổng n số hạng của dãy số mà mọi số hạng đều là 1/2 ducat. Số tiền Paul mong nhận được là vô hạn.

Nếu chơi trò này, liệu bạn sẽ trở nên vô cùng giàu có hay không? Chắc chắn là không. Nếu bạn không tin, hãy chơi thử. Và xem bạn sẽ nhận được bao nhiêu tiền.

Lòng tham quả là một vấn đề lớn đối với bất kỳ ai muốn vận dụng toán học vào thực tế. Nói thế nghĩa là nếu bạn chơi trò này, bao nhiêu tiền cũng không đủ trả cho bạn. Nếu có một sòng bạc chấp nhận trả 1 triệu đô la hay 1 tỉ đô la cho trò này, chắc chắn người ta sẽ đổ xô vào mà chơi.

Đối với những người muốn đưa ra đánh giá về triển vọng của một công ty mới, họ phải nắm được những tiềm năng và khả năng sinh lời khác nhau của công ty đó trong những hoàn cảnh khác nhau. Bằng cách này hay cách khác, họ tính nhẩm mức giá hợp lý của cổ phiếu. Ví dụ của Bernoulli chỉ ra rằng trong một vài trường hợp, cách tính thông thường luôn cho thấy nên mua cổ phiếu mới ở bất cứ giá nào, cho dù là giá cao đi nữa.

Cả Nicolas và Daniel đều cho rằng điều này thật ngớ ngẩn. Daniel viết:

"Mặc dù cách tính trên của Bernoulli cho thấy rằng mong muốn của Paul là vô hạn, phải thừa nhận rằng chẳng có một người bình thường nào sẵn lòng bán cơ hội của mình với giá 20 ducat. Thực vậy, mặc dù phương pháp trên tính được kỳ vọng vô hạn của Paul, nhưng cũng chẳng ai sẵn lòng mua cơ hội của Paul với giá cao cả".

Daniel xuất bản cuốn sách này bằng tiếng Latin, lấy tên là “Ván cược St.Peterburg" (St. Petersburg Wager) hay còn có một tên gọi khác, "Nghịch lý St. Peterburg” (St. Petersburg Paradox). Kể từ đó, nó bắt đầu nhận được sự quan tâm của công chúng. Trong cuốn "Luận thuyết về khả năng" (Treatise on Probability) xuất bản năm 1921, John Maynard Keynes cũng nhắc tới nghịch lý St. Peterburg, khiến nó trở thành một trong những hành trang của hầu hết các nhà kinh tế học thế kỷ XX. Ván cược St, Peterburg của Bernoulli cũng có mặt trong "Lý thuyết trò chơi và hành vi kinh tế" của Neumann và Morgenstem và trong các bài báo của Kenneth Arrow, Milton Friedman và Paul Samuelson.

Nghịch lí có thể được giải quyết dễ dàng nếu ta thêm vào một chi tiết: Peter có số tài sản vô hạn để tiếp tục trả cho chi phí tăng lên dần của trò chơi (số tiền Peter phải trả cho Paul tăng dần theo số lần tung đồng xu). Nhưng không ai có chừng ấy tài sản cả. Do vậy, hầu hết các giả thiết của dãy số vô hạn ta nhắc tới ở phần trên là không xác thực. Cơ may thắng được 1000 tỉ đô la là rất nhỏ, không đáng để bạn màng tới. Thực tế, cơ may đó bằng 0 vì chẳng ai có đủ 1000 tỉ để trả cho bạn cả."

Giả sử một sòng bạc treo giải trên 1 tỉ đô la cho ván cược này. Vậy, thực chất ván cược này đáng giá bao nhiêu? sẽ thấp hơn 1 tỉ rất nhiều! Giả sử giải thưởng bắt đầu với giá 1 đô la. Theo cách tính thông thường, nếu được mặt ngửa ở lần tung thứ 30 và thưởng 1 đô la cho ai tung được 30 lần sấp. Giá trị kỳ vọng của ván cược này là 15,93 đô la, chẳng đáng bao nhiêu.

Quả là hợp lý hơn nhiều khi ván cược thực chất chỉ đáng giá vài đô la chứ không phải vô hạn. Ngay cả những người theo thuyết duy thực khó tính nhất cũng chấp nhận cách giải thích này. Tuy nhiên, các nhà triết học, toán học, cả các nhà kinh tế học thì không, họ chấp nhận phương án giả định Peter có số tài sản vô hạn. Vậy, với giả thiết này, có còn kỳ quặc nữa không khi cho rằng Paul sẵn sàng trả bất cứ khoản tiền nào để được chơi trò này?

Daniel Bernoulli cho rằng chẳng có gì kỳ quặc cả. Ông đưa ra một giải pháp khác, và chính nó đã ảnh hưởng sâu sắc đến các học thuyết kinh tế về sau này. Bernoulli chỉ ra rằng có sự tách biệt giữa bản thân tiền và giá trị người ta đặt vào tiền. Đối với một tỉ phú, 1000 đô la chỉ là tiền lẻ trong túi nhưng đối với một người ăn mày đói khát, 1000 đô la lại là cả một gia tài. Giá trị mà việc được hay mất tiền mang lại cho một người phụ thuộc vào việc người đó có bao nhiêu tiền.

Chắc chắn bạn sẽ nói rằng điều này chẳng có gì mới cả. Đúng thôi, nhưng đóng góp thiết thực của Bernoulli ở đây là đã sáng tạo ra một từ ngữ mới: "hữu dụng". Hữu dụng là đánh giá chủ quan của một cá nhân về tiền. Bernoulli cho rằng con người luôn tự động muốn đạt được hữu dụng cao nhất có thể có, không nhất thiết phải có được số đô la hay ducat nhiều nhất. Ông viết:

"Giá trị của một hàng hóa không thể dựa trên giá tiền của nó mà dựa vào tính hữu dụng mà nó mang lại. Giá tiền của hàng hóa chỉ phụ thuộc vào bản thân nó, và đối với con người cũng vậy, còn tính hữu dụng lại tùy thuộc vào những tình huống khác nhau, trong đó người ta đưa ra các đánh giá".

Một người giàu đánh giá 1 đồng đô la thấp hơn cách đánh giá của một người nghèo như thế nào? Thực lòng mà nói thì "Còn tùy". Chẳng hạn, Bernoulli giả định một người đàn ông giàu có đang bị cầm tù và cần đúng 2000 ducat - nhiều hơn những gì ông ta có để mua sự tự do của mình. Người này sẽ đánh giá 2000 ducat đó cao hơn so với một người nghèo nhưng không cần gấp số tiền đó.

Dù sao đây cũng chỉ là một tình huống giả định, chứ thường thì 2000 đô la đối với một người giàu sẽ ít có giá trị hơn là đối với một người nghèo. Từ đó, Bernoulli rút ra quy luật ngón tay cái:

"Giả sử không có trường hợp ngoại lệ, việc tăng một lượng nhỏ của cải sẽ mang lại một lượng hữu dụng tỉ lệ nghịch với số của cải sẵn có".

Nói cách khác, nếu một người giàu gấp đôi bạn thì khi cùng thắng 100 đô la, bạn vui gấp đôi anh ta. Nhưng khi trả hóa đơn ăn tối, bạn cũng phải bận tâm gấp đôi anh ta.

Điều này còn được biểu diễn qua đồ thị với hai đại lượng: hữu dụng và của cải. Nếu đánh giá của con người về tiền bạc tỉ lệ thuận với số của cải người đó có, đồ thị sẽ là một đường thẳng. Theo Quy luật ngón tay cái của Bernoulli, đồ thị là đường cong. Điều này cho thấy rằng: cần một khoản tiền rất lớn cho một người giàu nhưng chỉ cần một khoản tiền rất nhỏ cho một người nghèo để tạo ra sự hữu dụng như nhau. Đường cong của đồ thị (và Quy luật ngón tay cái của Bernoulli) biểu diễn một hàm số lô-ga. Do vậy, Quy luật ngón tay cái của Bernoulli còn gọi là hữu dụng lô-ga.

Bernoulli sử dụng khái niệm hữu dụng để giải quyết nghịch lý St.Peterburg. Vậy ta sẽ giả định rằng đánh giá về hữu dụng của Paul tỉ lệ nghịch với số của cải anh ta có. Điều đó có nghĩa là việc thắng 2 ducat không mang lại cho Paul độ hữu dụng gấp đôi việc thắng 1 ducat. Và cho dù đặt 1 ducat hay 1 triệu ducat làm tiền thưởng thì độ hữu dụng mà lần chơi thứ hai mang lại không bao giờ bằng lần chơi thứ nhất.

Ta phải hạ thấp số lần tung đồng xu xuống vì lợi nhuận sẽ càng giảm khi số lần thưởng tiền tăng lên (quy luật hiệu suất giảm dần - Diminishing return). Khi đó, số lần tung đồng xu vẫn là một dãy số vô hạn nhưng dễ tính toán hơn vì nó trở thành một dãy hội tụ (dãy có giới hạn hữu hạn). Bạn có thể cộng dồn 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16...và tổng này không bao giờ bằng 1, cho dù dãy số là vô hạn. Khi dãy số kỳ vọng, tức số lần tung đồng xu kỳ vọng của Bernoulli được điều chỉnh theo cách này, dãy số chỉ là một dãy hội tụ chứ không phải là một tổng hữu hạn và đơn giản.

Tính hữu dụng của thuật toán lô-ga vẫn còn thu hút sự đam mê của các nhà kinh tế học trong những thế kỉ tiếp sau đó. Nhà kinh tế học người Anh William Stanley Jevons (1835-1882) tiếp tục áp dụng thuật toán lô-ga vào hàng hoá tiêu dùng cũng như của cải:

"Khi lượng hàng hoá mà một người phải tiêu thụ, ví dụ như thức ăn thông thường, tăng lên thì tính hữu dụng hoặc lợi ích có được từ đơn vị hàng hoá cuối cùng được sử dụng sẽ giảm dần."

Điều này giải thích làm thế nào mà các nhà hàng buffet vẫn có lời. Trong một bài viết năm 1954, Leonard Savage gọi đường cong lô-ga là "một hình mẫu về hàm hữu dụng cho mọi người" - một phép xấp xỉ hợp lý để biết hầu hết mọi người đánh giá giá trị tiền bạc thông qua lượng tiền họ có như thế nào.

Không phải ai cũng đồng ý với quan điểm trên. Vào thời của Savage, tính hữu dụng lô-ga được nhìn nhận dưới góc độ rất cổ hủ, lạc hậu. Một cách nhìn nhận mới chính là sự nhận thức hữu dụng lô-ga không phải là giải pháp triệt để cho nghịch lý St.Peterburg. Những năm 30, nhà toán học sống tại thành phố Viên (Áo) Karl Menger chỉ ra rằng, giải quyết nghịch lý St.Peterburg rất dễ, điều mà giải pháp của Bernoulli đã thất bại. Tất cả những gì cần làm là hạ thấp chi phí. Thay vì đưa ra 1,2,4,8 ducat cho mỗi lần tung thành công (tung được mặt ngửa), ta sẽ đưa ra 2,4,16,256 ducat... Ta tính toán sao cho giá cả leo thang thật nhanh khiến cho hàm hữu dụng kỳ vọng lại trở nên vô hạn.

Phản ví dụ hiểm nhất mà Menger đưa ra là giải thưởng cho ván cược không phải tính bằng đô la hay ducat mà bằng đơn vị hữu dụng. Một đơn vị hữu dụng là một đơn vị giả định biểu thị sự hữu dụng. Bạn có thể thắng 1,2,4 hoặc 8... đơn vị hữu dụng tuỳ thuộc vào số lần tung đồng xu. Giá trị của ván cược tính theo hữu dụng kỳ vọng là vô hạn. Nếu cho rằng một người bình thường chấp nhận từ bỏ mọi thứ anh ta có để chơi trò này thì thật là ngớ ngẩn vì chắc chắn mức hữu dụng mới mà anh ta đạt được sẽ chẳng khác là mấy so với mức hữu dụng cũ.

-oOo-

Ta có được gì từ tất cả những điều này? Có lẽ không nhiều. Samuelson tin rằng các cách giải thích nghịch lý St. Petersburg không "đe dọa được các nhà kinh tế". Điểm mấu chốt của vấn đề là hàm hữu dụng của Bernoulli là phi thực tế khi giả định của cải là vô hạn.

Một giải pháp khác đề cập đến "hữu dụng biên" - là mức hữu dụng cao nhất. Hãy thử tính nhẩm xem bạn cần bao nhiêu tiền để thỏa mãn mọi nhu cầu về vật chất? Số tiền đó, và hữu dụng tương ứng với nó, chính là giá trị biên.

Một giới hạn cao hơn đối với hữu dụng giống như một giới hạn cao hơn đối với số tiền mà một sòng bạc phải trả. Nó giới hạn dãy số vô hạn tại một giá trị hữu hạn hợp lý.

Hàm hữu dụng lô-ga không có giá trị biên. Đường cong trong đồ thị nhìn có vẻ như phẳng dần về phía trên bên phải. Nhưng thực sự, nó không bao giờ ngừng tăng lên. Điều này có nghĩa là, lấy ví dụ, một người có hữu dụng lô-ga sẽ sung sướng ngang nhau khi nhận được bất kì lượng tiền nào khiến của cải của người đó tăng lên 10 lần. Tăng từ 10.000 đô la lên 100.000 đô la hay từ 100.000 đô la lên 1 triệu đô la thì cũng giống như tăng từ 1 triệu đô la lên 10 triệu đô la vậy.

Điều này có thể hợp lý hoặc vô lý. Có một điều cần phải xem xét ở đây. Liệu việc sở hữu 10 tỉ đô la có lợi thế gì hơn so với sở hữu 1 tỉ đô la? Câu trả lời là không nếu bạn chỉ quan tâm tới chuyện "sống ổn". Vậy thì sở hữu 10 tỉ tỉ đô la có đáng tự hào hơn là sở hữu 1 tỉ tỉ đô la không? Câu trả lời vẫn là không nếu bạn chỉ quan tâm tới chuyện trở thành người giàu nhất thế giới.

Ứng dụng thuật toán lô-ga cũng không phải là một mô hình tốt để biểu thị sự nghèo đói vì nó ám chỉ rằng việc đánh mất 90% của một triệu cuối cùng mà bạn có cũng đáng tiếc như đánh mất 90% của một xen cuối cùng trong túi bạn. Điều này nghe thật kỳ quặc.

Năm 1936, nhà kinh tế học John Burr Williams đăng bài báo " Đầu cơ và số mang sang" (Speculation &the Carryover) trên tờ "Quarterly journal of Economic" . Bài báo viết về những người đầu cơ bông - mua bông dư thừa ở mức giá rẻ mạt với hy vọng bán lại kiếm lời trong vòng một năm hay lâu hơn. Những người đầu cơ này đã "cược" rằng mùa màng năm tới sẽ thất bát làm cho giá cả tăng. Williams nhân mạnh yếu tố ngẫu nhiên trong hoạt động này. Chẳng hạn như chẳng ai dự đoán được thời tiết cả. Ông cho rằng một người đầu cơ thành công phải nhạy bén, phải biết một điều gì đó mà thị trường không biết.

Kết thúc bài báo, trong "chú thích về khả năng", Williams viết: "nếu một nhà đầu cơ quen mạo hiểm với vốn lẫn lãi (hoặc lỗ) của mình trong những lần mua bán liên tiếp nhau thì anh ta sẽ chọn số trung bình nhân của tất cả các mức giá, chứ không phải số trung bình cộng, để làm giá đại diện cho sự phân tán các mức giá có thể có trong tính toán của mình. Williams không giải thích gì thêm về tuyên bố có phần khó hiểu này. Vậy là những ý tưởng của cả Bernoulli và Kelly vẫn chưa được sáng tỏ. Williams là một nhà kinh tế học có tên tuổi, được biết đến với ý tưởng (khá kỳ quặc) rằng cổ phiếu có thể được định giá thông qua cổ tức. Bất chấp danh tiếng của Williams, tuyên bố trên chẳng nhận được mấy sự quan tâm và nhanh chóng đi vào quên lãng.