Nên tự tránh xa cờ bạc

Tháng Giêng năm 1954, Econometrica đăng bản dịch tiếng Anh đầu tiên bài báo của Bernoulli viết vào năm 1738 đề cập đến ván cược St. Peterburg. Chỉ có một số ít các nhà kinh tế học phương Tây đọc được bản gốc, trong khi đó, bản dịch lại bóp méo và đánh giá thấp những kết quả nghiên cứu của Bernoulli nên chẳng mấy ai nắm được toàn bộ nội dung bài báo của ông cả.

Bài báo đó không thực sự nói về ván cược St. Peterburg hay tính hữu dụng. Cả hai vấn đề chỉ được nhắc đến như những câu chuyện bên lề. Luận thuyết của Bernoulli cho rằng có thể dùng số trung bình nhân của kết quả để đánh giá rủi ro.

Chúng ta được học ở trường rằng có hai loại "số trung bình": số trung bình cộng và số trung bình nhân, số trung bình cộng là loại thường gặp. Ta tính số trung bình này bằng cách cộng tất cả các số hạng của dãy số lại rồi đem chia cho số số hạng của dãy số. Đó cũng là cách tính trung bình số lần chạm bóng của một cầu thủ bóng chày, và bảng tính Excel có thể tính được số trung bình cộng khi ta nhập vào hàm = VERAGE( ).

Ở trường, ta cũng được học số trung bình nhân nhưng chẳng mấy ai nhớ cả. Ta tính số trung bình nhân bằng cách nhân n số hạng lại với nhau, rồi lấy căn bậc n của kết quả thu được.

Rất ít người thích lấy căn, cho dù họ có thể làm được, cho nên chủ yếu chỉ có các nhà thống kê học mới dùng phương pháp này. Dĩ nhiên, bây giờ chẳng còn ai tính cả hai loại số trung bình này bằng tay nữa. Cũng có một hàm EXCEL để tính số trung bình nhân, hàm = GEOMEAN( ).

Mục đích của bất cứ số trung bình nào đều là làm cho cuộc sống này trở nên đơn giản hơn. Chẳng hạn, việc nhớ tới cầu thủ bóng chày Manny Ramirez thông qua số lần chạm bóng trung bình của anh là 349 lần thì dễ dàng hơn nhiều so với việc nhớ từng số liệu trong toàn bộ sự nghiệp của anh ta. Rõ ràng, chỉ một số trung bình này nói riêng cung cấp nhiều thông tin về khả năng của cầu thủ Ramirez hơn cả một núi dữ liệu chưa xử lý.

Trong bóng chày cũng như trong những lĩnh vực khác, dùng số trung bình cộng là ổn rồi. Tại sao người ta cứ phải chuốc lấy phiền phức bằng cách dùng số trung bình nhân làm gì?

Để trả lời câu hỏi này, Bernoulli đi từ việc phân tích một trò chơi. Một trò chơi "công bằng" là một trò chơi mà trong đó, giá trị kỳ vọng của người chơi bằng 0 (không có thắng hay thua chung cuộc), tức là số trung bình cộng của những kết quả có thể xảy ra là con số 0. Bernoulli đưa ra ví dụ cụ thể về "trò chơi công bằng" này. Giả sử bạn cược toàn bộ tài sản mà mình có vào trò tung đồng xu. Bạn đấu với hàng xóm của mình, người có số tài sản bằng bạn. Được ăn cả ngã về không, người thắng cuộc sẽ được nhà cửa, xe hơi, tiền tiết kiệm, nói chung là mọi thứ của kẻ thua.

Hãy tưởng tượng rằng hiện giờ bạn có 100.000 đô la. Sau khi tung đồng xu, hoặc là bạn sẽ có 200.000 đô la hoặc chẳng được xu nào. Xác suất xảy ra hai kết quả này là như nhau. Trung bình cộng là:

(200.000 + 0)/2 = 100.000 đô la

Nếu bạn nhận 100.000 đô la này, xem nó như giá trị công bằng và thỏa đáng của ván cược, thì việc bạn tham gia ván cược hay không chẳng có gì khác nhau. Hiện tại bạn có 100.000 đô la, và bạn mong sẽ có thêm 100.000 đô la nữa sau mỗi lần đồng xu được tung lên.

Mọi người thường không lý giải theo cách này. Cả bạn và người hàng xóm đều cho rằng thật điên rồ khi đồng ý tham gia trò này, vì khả năng bạn bị mất tất cả sẽ cao hơn nhiều so với khả năng nhận được gấp đôi những gì mình đang có.

Còn theo cách tính trung bình nhân, ta sẽ nhân hai giá trị mà ta sẽ nhận được với xác suất như nhau lại với nhau: 200.000 X 0 (đô la) rồi lấy căn bậc 2. Bởi vì 0 nhân với bất cứ số nào cũng bằng 0 nên trung bình nhân sẽ bằng 0. Và nếu 0 là giá trị kỳ vọng thực sự của ván cược trong trường hợp này, bạn sẽ thích giữ lại 100.000 đô la của mình hơn.

Số trung bình nhân hầu như luôn nhỏ hơn số trung bình cộng (chỉ có ngoại lệ khi tất cả các số hạng đều giống nhau, khi đó, hai số trung bình này sẽ bằng nhau). Điều này có nghĩa là để đánh giá tỷ lệ rủi ro thì số trung bình nhân an toàn hơn. Bernoulli tin rằng so với số trung bình cộng, số trung bình nhân phản ánh tốt hơn việc mọi người không ưa thích rủi ro.

Bởi vi khi đánh giá rủi ro, số trung bình nhân luôn nhỏ hơn số trung bình cộng, những "trò chơi công bằng" thực sự không được ưa thích lắm. Bernoulli gọi đây là "bản thân mỗi người luôn mách bảo nên tránh xa bài bạc" (Bernoulli không khuyến khích bất kì một trò cờ bạc mua vui nào).

Theo quan điểm của Bernoulli, một ván cược chỉ có nghĩa khi lợi thế nghiêng về một bên nào đó, hoặc khi các bên tham gia vào ván cược có số tài sản khác nhau. Bằng cách này, Bernoulli đã giải được một trong những bài toán cổ xưa nhất của phố Wall: "cứ mỗi lần giao dịch hàng hóa, người mua nghĩ rằng mình là người được lợi nhiều hơn từ vụ mua bán này, và người bán cũng vậy. Nhưng vấn đề là ở chỗ cả hai người không thể cùng đúng được, phải có một người được lợi hơn."

Bernoulli thách thức:

"Đối với một số người, đầu tư vào một công ty còn nhiều hoài nghi vẫn hợp lí, tuy nhiên, đối với một số người thì ngược lại".

Ông không đề cập trực tiếp đến thị trường chứng khoán mà nhắc tới một "thương nhân Peterburg" làm nghề vận chuyển hàng bằng đường thủy. Thương nhân đó đang mạo hiểm trong một canh bạc vì tàu có thể chìm. Có một giải pháp là mua bảo hiểm cho tàu. Nhưng người ta thống kê được rằng bảo hiểm không phải là giải pháp luôn luôn được ưa chuộng, ngoại trừ công ty bảo hiểm vì họ có thể kiếm lợi nhờ vào tiền bảo hiểm.

Bernoulli chỉ ra rằng một thương nhân tương đối nghèo có thể cải thiện tỉ lệ an toàn của mình bằng cách mua bảo hiểm (ngay cả khi bị mua "hớ"), trong khi đó, một công ty bảo hiểm giàu có cũng cải thiện được tỉ lệ an toàn của mình bằng cách bán bảo hiểm cho thương nhân đó.

Bernoulli vẫn kiên trì với ý tưởng: mọi người luôn tự động tối đa hóa tỉ lệ an toàn của mình, ngay cả khi họ không biết mình đang làm như vậy:

"Bởi vì những dự đoán của chúng ta có thể hoàn toàn phù hợp với những kinh nghiệm nên đừng xem chúng là sự trừu tượng hoá dựa trên những giả thiết không chắc chắn và lờ đi".

Có một mối liên hệ giữa lời tuyên bố trên của Bernoulli và tập sách xuất bản của John Kelly vào năm 1956, Hóa ra, cả một tập sách của Kelly có thể nói gọn thành một nguyên lý như thế này.

"Khi phải lựa chọn giữa việc có đầu tư hay không, hãy chọn trường hợp nào có tỉ lệ an toàn cao hơn".

Đây chính là tiêu chuẩn Kelly, nó được áp dụng rộng rãi hơn cả công thức lợi nhuận biên/chi phí của ông.

Khi các kết quả có thể xảy ra có độ chắc chắn khác nhau, cần phải cân nhắc dựa vào xác suất của chúng. Một cách để làm điều này là tối đa hóa số của cải kỳ vọng đạt được trong từng trường hợp. Bất kì ai làm theo cách này cũng tin rằng họ sẽ đạt được kỳ vọng tương ứng trong từng trường hợp.

Xét về mặt thời gian, liệu Kelly có biết qua bài báo của Bernoulli chăng? Không có chứng cứ nào về việc này. Kelly không hề trích dẫn lời của Bernoulli vì nếu ông biết về những nghiên cứu của Bernoulli thì mọi việc đã khác rồi. Là một nhà khoa học về giao tiếp, có lẽ chẳng bao giờ Kelly đọc một quyển như "Kinh tế lượng".

Tuy nhiên, bài báo của Bernoulli lại có ảnh hưởng trực tiếp đến Henry Latané. Và chính Latané chứ không phải Kelly đã thổi những tư tưởng của Bernoulli đến cho các nhà kinh tế học về sau này.