Mọi trò cờ bạc đều như nhau

Một điểm mà cả hai bên tham gia tranh luận đều đồng ý là hệ thống Kelly đã đặt ra một số thách thức cho bất kỳ nhà đầu tư nào mong muốn có được lợi nhuận tối đa. Đây cũng là một vấn đề nữa mà ta có thể làm sáng tỏ.

Hãy xem xét đồ thị trang bên, nó là một ảnh chụp nhanh về tiêu chuẩn Kelly. Đồ thị biểu diễn số tài sản của một tay cá cược (hoặc một thương nhân) theo tiêu chuẩn của Kelly trong một chuỗi các ván cược liên tục với từng cơ hội đặt cược riêng lẻ. Trục hoành biểu diễn thời gian (hoặc số lần cược), trục tung biểu diễn số tài sản. Ở đây, tôi không đề cập đến đơn vị. Hãy tưởng tượng rằng đồ thị này được in trên cao su nên bạn có thể kéo dài các trục thời gian và tài sản đến chừng nào bạn muốn.

Có lẽ bạn sẽ thắc mắc đồ thị biểu diễn cho trò chơi hay vụ đầu tư nào. Chuyện đó không quan trọng lắm. Cá cược theo kiểu Kelly nghĩa là tất cả các vụ cá cược và đầu tư mà bạn tham gia đều có thể hoán đổi được với nhau. Với bất kì một cơ hội cá cược hay đầu tư nào cho trước, một người cá cược theo kiểu của Kelly có thể biến đổi nó thành một vụ cá cược hay đầu tư có tốc độ tăng trưởng vốn cao nhất. Khi vụ cá cược quá mạo hiểm, người này chỉ đặt cược một khoản rất nhỏ trong tổng vốn của mình để giảm bớt rủi ro. Còn khi gặp một vụ đầu tư hay kinh doanh không hề có dấu hiệu rủi ro trắng tay, tay cược của Kelly có thể áp dụng hiệu ứng đòn bẩy để thu được lợi nhuận tối đa.

Giả sử tay bạc của Kelly có đặt cược bao nhiêu tùy ý (có thể áp dụng hiệu ứng đòn bẩy bất cứ khi nào thích hợp) nhưng không được phép đa dạng hóa bằng cách đặt cược nhiều ván cùng một lúc, khi đó đường biểu diễn tài sản có thể giống như đồ thị trên cho bất kì một canh bạc hay một vụ đầu tư nào. Cái tôi đang nói ở đây không phải là hình dạng chính xác của các điểm cao nhất hay các khoản lõm trên đồ thị, dĩ nhiên những điểm này sẽ được xác định ngẫu nhiên, mà tôi đang đề cập đến phạm vi của các điểm tăng lên tụt xuống này, nhìn chung chúng có xu hướng tăng lên theo cấp số mũ. Đồ thị này có thể sẽ làm bạn nhớ đến đồ thị biểu diễn thị trường chứng khoán. Thật ra, nguồn vốn của tay bạc theo kiểu Kelly bất ổn hơn so với chỉ số Dow hay S&P 500 thường thấy.

Hình dạng của đồ thị làm ta liên tưởng tới vách núi lởm chởm - một cảnh đẹp dễ gợi nên nỗi buồn xé ruột. Giả sử bạn đang đứng tại điểm cao nhất ở phần giữa hơi chệch về bên phải của đồ thị.

Điểm này biểu diễn cho một triệu đầu tiên mà bạn có được. Trong tình huống cụ thể này, bạn sắp phải mất hầu như tất cả.

Sự dao động về nguồn vốn trong các ván cược của Kelly tuân theo một quy luật đơn giản. Trong một dãy vô hạn các ván cược theo thứ tự của Kelly, xác suất nguồn vốn của bạn bị giảm xuống chỉ còn một nửa so với con số gốc là... 1/2.

Điều này đúng tuyệt đối đối với một trò chơi lý tưởng, trong đó người chơi được đặt cược liên tục, nhưng chỉ đúng tương đối đối với các trường hợp cá cược rời rạc như bài xì dách, đua ngựa, v.v... Quy luật tương tự áp dụng cho phân số 1/n. Nghĩa là xác suất giảm 1/3 vốn gốc là 1/3 hay xác suất giảm 1% vốn gốc của bạn là 1%.

Trong quy luật này, tin tốt lành là xác suất mất trắng, tức vốn của bạn bị giảm xuống 0 là 0. Và bởi vì bạn không bao giờ trắng tay nên luôn có thể phục hồi lại được từ những thua lỗ.

Nhưng tin xấu là bất kể giàu có cỡ nào, bạn vẫn luôn có nguy cơ thua lỗ nghiêm trọng. Quy luật 1/n có thể áp dụng cho bất kì giai đoạn cá cược nào. Nếu bạn xoay xở để vốn của mình tăng lên đến 1 triệu đô la, điều này chẳng khác gì với việc số vốn ban đầu của bạn là 1 triệu đô la. Xác suất bạn mất đi một nửa số tiền trên tại một thời điểm nào đó trong tương lai là 50%. Sự thua lỗ này chỉ là "tạm thời". Nhưng dù sao khi chia nhỏ chúng ra, một tay cược hay một nhà đầu tư theo cách của Kelly phải sống với số của cải ít hơn trong một thời gian dài hơn so với trước kia.