1 Người đàn bà trên tấm da hà mã Định lý Pythagor

Phương trình này cho ta biết điều gì?

Nó biểu diễn mối liên hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông.

Tại sao nó lại quan trọng?

Nó cung cấp một mối liên kết quan trọng giữa hình học và đại số, cho phép chúng ta tính toán khoảng cách theo các tọa độ. Nó cũng khơi nguồn cảm hứng cho lượng giác.

Nó đã dẫn tới những gì?

Nó giúp chúng ta khảo sát, định vị, và đặc biệt gần đây là thuyết tưong đối hẹp và rộng - lý thuyết tuyệt vời nhất hiện nay về không gian, thời gian, và hấp dẫn.

Khi yêu cầu bất kỳ một học sinh phổ thông nào nêu tên một nhà toán học lừng danh, câu trả lời thông thường sẽ là Pythagor. Nếu không, sẽ là Archimedes. Ngay cả Isaac Newton danh tiếng cũng phải chịu xếp sau hai siêu sao của thế giới cổ đại này. Archimedes là một người khổng lồ về trí tuệ, và có lẽ Pythagor không được như thế, nhưng ông xứng đáng được hưởng nhiều hơn so với những gì mà ông thường nhận được. Không phải vì những thành công của ông, mà là vì những thứ mà ông đã khởi phát.

Pythagor sinh ở đảo Samos, Hy Lạp, phía đông Aegean, vào khoảng năm 570 trước Công nguyên (TCN) . Ông là một triết gia và là một nhà hình học. Những điều ít ỏi mà chúng ta biết được về cuộc đời của ông là từ các học giả rất lâu sau đó và tính chuẩn xác lịch sử của chúng vẫn còn rất đáng ngờ, tuy nhiên những sự kiện chính thì có lẽ là chính xác. Khoảng năm 530 TCN , ông tới Croton, một thuộc địa của Hy Lạp, bây giờ là nước Ý. Tại đây ông tổ chức một nhóm triết học-tôn giáo, những người theo trường phái Pythagor, những người tin rằng vũ trụ dựa trên nền tảng các con số. Sự nổi tiếng của người sáng lập trường phái này ngày nay dựa trên một định lý mang tên ông. Nó đã được dạy hơn 2000 năm nay, và đã đi vào văn hóa đại chúng. Bộ phim Merry Andrew năm 1958, với ngôi sao Danny Kaye, có một bài hát mở đầu như sau:

Bình phương độ dài cạnh huyền, của một tam giác vuông thì bằng với tổng bình phương của hai cạnh kề còn lại.

Bài hát tiếp tục với các câu ẩn ngữ, về việc không để các phân từ của bạn đong đưa, liên kết Einstein, Newton, và anh em nhà Wright với định lý nổi tiếng đó. Hai người đầu tiên hét lên “Eureka!”; không, đó là Archimedes. Bạn sẽ suy ra rằng lời nhạc không chính xác về mặt lịch sử, nhưng đó là Hollywood mà. Tuy nhiên, trong chương 13, ta sẽ thấy rằng người viết lời (Johny Mercer) đã rất chính xác với Einstein, có lẽ hơn cả những gì ông đã biết.

Định lý Pythagor xuất hiện trong một chuyện đùa nổi tiếng, với sự chơi chữ tồi tệ về người đàn bà trên da con hà mã. Chuyện vui này có thể tìm thấy khắp nơi trên Internet nhưng rất khó có thể tìm thấy nguồn gốc của nó 1 . Cũng có cả phim hoạt hình, áo phông và con tem về định lý Pythagor, như hình 1.

Hình 1 Con tem Hy Lạp mô tả định lý Pythagor

Mặc dù ồn ào như thế, nhưng chúng ta không biết chắc Pythagor có thực sự đã chứng minh định lý mang tên ông hay không. Thực tế, chúng ta cũng không biết đó có phải là định lý của ông hay không. Rất có thể nó được chứng minh bởi một đệ tử của Pythagor, hay một viên thư lại người Babylon hay Sumer cũng nên. Nhưng Pythagor được nổi tiếng, và tên ông được gắn với định lý đó. Cho dù nguồn gốc là thế nào đi nữa thì định lý này và hệ quả của nó đã có ảnh hưởng vô cùng to lớn đến lịch sử loài người. Nó đã thực sự mở ra thế giới của chúng ta.

Người Hy Lạp không diễn tả định lý Pythagor như một phương trình với các ký hiệu hiện đại. Điều đó đến sau theo sự phát triển của đại số. Vào thời cổ đại, định lý này được diễn tả bằng lời và bằng hình học. Nó đã đạt tới dạng hoàn chỉnh nhất, và phép chứng minh đầu tiên được ghi lại là trong bản thảo của Euclid xứ Alexandria. Vào khoảng năm 250 TCN , Euclid trở thành nhà toán học hiện đại đầu tiên khi ông viết tác phẩm nổi tiếng Cơ sở (Elements ), từ trước tới nay. Euclid đã chuyển hình học thành logic bằng cách đưa ra những giả định cơ bản hiển nhiên và viện đến chúng để đưa ra những chứng minh hệ thống cho tất cả các định lý của ông. Ông đã xây dựng một tòa tháp các khái niệm, với nền tảng là các điểm, đường thẳng và đường tròn, mà đỉnh cao của nó là sự tồn tại của năm khối đa diện đều.

Một trong những viên ngọc trên vương miện của Euclid chính là thứ mà ngày nay chúng ta gọi là định lý Pythagor: Mệnh đề 47 của quyển 1 trong bộ Cơ sở . Trong bản dịch nổi tiếng của Sir Thomas Heath mệnh đề này phát biểu: “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh chắn góc vuông thì bằng với bình phương của các cạnh góc vuông”.

Khi đó, không có con hà mã, cũng chẳng có cạnh huyền. Thậm chí không có cả “cộng” hay “thêm vào”. Chỉ có mỗi từ “chắn” ngồ ngộ, về cơ bản có nghĩa là “đối diện với”. Tuy nhiên, định lý Pythagor rõ ràng đã diễn tả một phương trình, vì nó có chứa một từ cốt tử, đó là từ bằng .

Vì các mục đích của toán học cao cấp hơn, người Hy Lạp làm việc với các đường thẳng và diện tích thay vì các con số. Vì thế Pythagor và những người kế tục ông đã giải mã định lý này như là một đẳng thức của các diện tích: “Diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh dài nhất của tam giác vuông bằng tổng diện tích của các hình vuông dựng trên hai cạnh còn lại”. Cạnh dài nhất chính là cạnh huyền nổi tiếng, có nghĩa là “căng ra bên dưới”, điều sẽ xảy ra nếu bạn vẽ hình theo định hướng phù hợp, như hình 2 (bên trái).

Trong vòng 2000 năm, định lý Pythagor được viết lại dưới dạng phương trình đại số:

a 2 + b 2 = c 2

với c là độ dài của cạnh huyền, a và b là độ dài của hai cạnh còn lại, và số mũ 2 có nghĩa là bình phương. Theo ngôn ngữ đại số, bình phương của một số là lấy số đó nhân với chính nó, và chúng ta đều biết diện tích của hình vuông bất kỳ thì bằng bình phương độ dài cạnh của nó. Do đó phương trình Pythagor, như tôi đặt lại tên cho nó, nói lên chính xác điều mà Euclid đã nói - ngoại trừ một số vấn đề tâm lý có liên quan với việc người cổ đại đã tư duy như thế nào về các khái niệm toán học căn bản như số và diện tích, những điều mà tôi sẽ không đề cập tới.

Phương trình Pythagor có nhiều ứng dụng và hệ quả. Nó giúp bạn tính độ dài cạnh huyền một cách trực tiếp nhất, nếu biết trước hai cạnh còn lại. Chẳng hạn, giả sử rằng a = 3, b = 4. Khi đó c 2 = a 2 + b 2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25. Do đó, c = 5. Đó là tam giác 3-4-5 nổi tiếng, rất phổ biến trong toán học phổ thông, và là ví dụ đơn giản nhất về bộ ba số Pythagor: một danh sách bộ ba số nguyên thỏa mãn phương trình Pythagor. Ví dụ đơn giản tiếp theo, không phải ở dạng bội số như 6-8-10, là tam giác 5-12-13. Có vô hạn các bộ ba số như vậy, và người Hy Lạp biết cách xây dựng tất cả các bộ số như thế. Chúng vẫn còn giữ được sự quan tâm nhất định trong lý thuyết số, và ngay cả trong thập niên gần đây người ta vẫn còn phát hiện được các đặc điểm mới.

Thay vì sử dụng a và b để tìm c , bạn có thể tiến hành một cách gián tiếp, và giải phương trình để thu được a nếu biết b và c . Bạn cũng có thể trả lời các câu hỏi tinh tế hơn, như bạn sẽ nhanh chóng thấy dưới đây.

Hình 2 Trái: Dựng thêm các đường trong phép chứng minh định lý Pythagor của Euclid. Giữa và phải : Một cách chứng minh khác của định lý này. Các hình vuông bên ngoài của hai hình có diện tích bằng nhau và tất cả các hình tam giác sẫm màu cũng có diện tích bằng nhau. Do đó, hình vuông trắng nghiêng (hình giữa) có cùng diện tích với hai hình vuông trắng khác (hình phải) hợp lại.

Tại sao định lý này lại đúng? Chứng minh của Euclid khá phức tạp, phải vẽ thêm tới 5 đường phụ như trên hình 2 (bên trái), và sử dụng vài định lý đã được chứng minh từ trước. Các học sinh nam thời Victoria (ngày đó có rất ít nữ sinh được học hình học) gọi định lý này một cách bất kính là cái quần lót của Pythagor. Một chứng minh đơn giản và trực quan, mặc dù không phải là hoàn hảo nhất, sử dụng bốn bản sao của một tam giác để liên hệ hai lời giải của cùng một trò chơi ghép hình toán học như hình 2 (bên phải). Bức vẽ hoàn toàn thuyết phục, nhưng để điền các chi tiết logic vào đòi hỏi ta phải suy nghĩ. Chẳng hạn, làm sao chúng ta biết hình nghiêng trắng ở giữa hình vẽ là hình vuông?

Có bằng chứng như trêu ngươi rằng định lý Pythagor đã được biết đến rất lâu trước Pythagor. Một bảng đất sét 2 của người Babylon hiện ở bảo tàng Anh quốc có ghi một bài toán và câu trả lời, dưới dạng chữ viết hình nêm mà ta có thể viết lại như sau:

4 là chiều dài và 5 là đường chéo. Chiều rộng là bao nhiêu?

4 nhân 4 là 16.

5 nhân 5 là 25.

Lấy đi 16 từ 25 ta được 9.

Phải lấy mấy nhân với mấy để thu được 9?

3 nhân 3 là 9.

Vậy chiều rộng là 3.

Như vậy rõ ràng là người Babylon đã biết về tam giác 3-4-5 một ngàn năm trước Pythagor.

Một bảng khác, mang ký hiệu YBC 7289, thuộc bộ sưu tập Babylon của Đại học Yale, được trình bày trên hình 3 (bên trái). Trên đó có vẽ một hình vuông với cạnh 30, và các đường chéo được đánh dấu bằng hai dãy số: 1, 24, 51, 10 và 42, 25, 35. Người Babylon sử dụng hệ đếm cơ số 60, do đó dãy số đầu tiên thực sự có nghĩa là 1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 và bằng 1,4142129 trong hệ cơ số 10. Lưu ý rằng căn bậc hai của 2 là 1,4142135. Dãy số thứ hai bằng 30 lần của số đó. Như vậy, người Babylon đã biết rằng đường chéo của hình vuông bằng cạnh của nó (30) nhân với căn bậc hai của 2. Vì 1 2 + 1 2 = , đây cũng là một ví dụ về định lý Pythagor.

Hình 3 Trái: YBC 7289. Phải: Plimpton 322.

Còn đáng chú ý hơn nữa, mặc dù cũng bí ẩn hơn, là bảng Plimpton 322 thuộc bộ sưu tập của George Arthur Plimpton ở Đại học Columbia, hình 3 (bên phải). Đó là bảng các số, với 4 cột và 15 hàng. Cột cuối cùng liệt kê số thứ tự các hàng từ 1 đến 15. Vào năm 1945, hai sử gia về khoa học, Otto Neugebauer và Abraham Sachs 3 đã nhận thấy rằng trong mỗi hàng, bình phương của số (gọi là c ) trong cột ba trừ đi bình phương của số (gọi là b ) trong cột hai thì cũng cho ra bình phương của một số (gọi là a ). Suy ra, a 2 + b 2 = c 2 , cho nên đây là bảng số ghi lại các bộ ba số Pythagor. Chí ít điều này là đúng nếu như bốn lỗi rành rành trong đó được sửa lại. Tuy nhiên, không có gì chắc chắn rằng Plimpton 322 có liên quan với các bộ ba số Pythagor, và nếu ngay cả khi có, thì nó có thể cũng chỉ là một danh sách tiện lợi các tam giác có diện tích dễ dàng tính được. Chúng có thể được tập hợp lại để đưa ra những xấp xỉ tốt cho các tam giác khác và các dạng hình học khác, có lẽ để phục vụ cho việc đo đạc đất đai.

Một biểu tượng văn minh cổ đại khác là Ai Cập. Có một số bằng chứng cho thấy, khi còn trẻ, Pythagor đã từng tới thăm Ai Cập và một số người đã đưa ra giả thuyết rằng đó là nơi mà ông đã học được định lý của mình. Những ghi chép còn sót lại của nền toán học Ai Cập đã cung cấp những bằng chứng không đủ để hỗ trợ giả thuyết này, chúng quá ít và khá chuyên biệt. Thông tin được đề cập chủ yếu trong ngữ cảnh về các kim tự tháp, rằng người Ai Cập cổ đại đã dựng các góc vuông bằng cách sử dụng tam giác 3-4-5 tạo thành từ sợi dây với các nút thắt ở 12 khoảng bằng nhau, và các nhà khảo cổ đã tìm ra các dây loại đó. Tuy nhiên, không khẳng định nào mang nhiều ý nghĩa. Các kỹ thuật như thế không đáng tin cậy cho lắm, bởi vì các sợi dây có thể bị kéo dãn và các nút phải được đặt ở những vị trí cực kỳ chính xác. Sự chính xác trong việc xây dựng kim tự tháp ở Giza cao hơn tất cả những gì mà ta có thể thu được với một sợi dây như vậy. Các công cụ có tính thực tiễn hơn nhiều, chẳng hạn như chiếc thước eke của thợ mộc, cũng đã được tìm thấy. Các nhà Ai Cập học chuyên về toán học Ai Cập cổ đại không phát hiện thấy có ghi chép nào nói về việc sử dụng sợi dây 12 nút để tạo thành một tam giác 3-4-5 và không có ví dụ nào về việc sợi dây như thế tồn tại. Vì thế câu chuyện này, mặc dù có vẻ khá quyến rũ, gần như chắc chắn chỉ là một huyền thoại.

Nếu có thể đưa Pythagor tới sống ở thế giới ngày nay thì hẳn ông sẽ thấy rất nhiều khác biệt. Vào thời ông, các kiến thức y học còn rất sơ đẳng, ánh sáng thu được từ nến và đuốc, và dạng truyền thông nhanh nhất là người đưa tin cưỡi ngựa hay đèn hiệu trên đỉnh đồi. Thế giới được biết đến bao gồm hầu hết châu Âu, châu Á, và châu Phi, chứ chưa có châu Mỹ, châu Úc, Bắc Cực và Nam Cực. Nhiều nền văn minh khác nhau cho rằng thế giới là dạng phẳng: một đĩa tròn hay một hình vuông được gióng theo bốn hướng chính. Bất chấp những phát minh của các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại, niềm tin này vẫn tồn tại cho đến tận thời kỳ trung cổ, dưới dạng các bản đồ orbis terrae , hình 4.

Hình 4 Bản đồ thế giới được nhà lập bản đồ người Maroc al-Idrisi vẽ năm 1100 cho Vua Roger ở Sicily.

Vậy ai là người đầu tiên đã nhận ra thế giới có dạng tròn? Theo Diogenes Laertius, một nhà chuyên viết tiểu sử người Hy Lạp ở thế kỷ thứ 3, thì đó là Pythagor. Trong cuốn sách Cuộc sống và quan điểm của các triết gia lỗi lạc (Lives and Opinions of Eminent Philosophers ) của ông, một tuyển tập các châm ngôn và tiểu sử, và là nguồn lịch sử chính của chúng ta về đời sống riêng tư của các triết gia Hy Lạp cổ đại, ông viết: “Pythagor là người đầu tiên gọi Trái Đất là tròn, mặc dù Theophratus gán điều này cho Parmenides và Zeno gán cho Hesiod”. Người Hy Lạp cổ thường tuyên bố rằng các khám phá trọng đại thường do các bậc tổ tiên nổi tiếng của họ tìm ra, bất chấp thực tế lịch sử, vì thế chúng ta không thể vội vàng tin ngay vào tuyên bố đó của họ, nhưng có một điều không còn tranh cãi gì nữa, đó là từ thế kỷ thứ 5 TCN , các nhà triết học và toán học Hy Lạp danh tiếng đều xem Trái Đất có dạng tròn. Ý tưởng này có vẻ như được khởi nguồn vào thời Pythagor, và rất có thể nó xuất phát từ một trong số những môn đồ của ông. Hoặc cũng có thể đó là điều phổ biến, ai cũng biết, dựa trên những bằng chứng như cái bóng tròn của Trái Đất trên Mặt Trăng trong thời gian xảy ra nguyệt thực, hay sự tương tự với điều hiển nhiên là Mặt Trăng tròn.

Mặc dù vậy, ngay cả với người Hy Lạp, Trái Đất vẫn là trung tâm của vũ trụ và mọi thứ khác đều quay xung quanh nó. Sự đạo hàng (dẫn đường trong hàng hải) được thực hiện bằng cách quan sát các vì sao và dựa theo đường bờ biển. Phương trình Pythagor đã làm thay đổi tất cả những điều này. Nó đưa loài người bước lên con đường đến với những hiểu biết hiện nay về địa lý trên hành tinh của chúng ta và vị trí của nó trong hệ Mặt Trời. Đó là bước quan trọng đầu tiên để hướng tới các kỹ thuật hình học cần thiết cho việc vẽ bản đồ, đạo hàng và đo đạc địa hình. Nó cũng cho ta chìa khóa để mở ra mối quan hệ cực kỳ quan trọng giữa hình học và đại số. Con đường phát triển này đi thẳng từ thời kỳ cổ đại tới thuyết tương đối rộng và vũ trụ học hiện đại (xem chương 13). Phương trình Pythagor mở ra những hướng khám phá hoàn toàn mới cho con người, cả về mặt nghĩa bóng lẫn nghĩa đen. Nó hé lộ hình dạng thế giới của chúng ta và vị trí của nó trong vũ trụ.

Rất nhiều các tam giác mà ta gặp trong đời sống hằng ngày không phải là tam giác vuông, bởi vậy các ứng dụng trực tiếp của phương trình này có vẻ khá hạn chế. Tuy nhiên, bất kỳ tam giác nào cũng có thể cắt được thành hai tam giác vuông như hình 6 (trang 28), và bất kỳ hình đa giác nào cũng có thể cắt được thành các tam giác. Vì thế các tam giác vuông là then chốt: nó chứng tỏ rằng có mối liên hệ hữu ích giữa hình dạng của một tam giác và độ dài các cạnh của nó. Môn học được phát triển từ cái nhìn sâu sắc đó là lượng giác học: phép “tam giác đạc”.

Tam giác vuông là cơ sở của lượng giác và đặc biệt nó xác định các hàm lượng giác cơ bản như sin, cos, tan. Những tên gọi này có nguồn gốc Ả Rập, và các hàm này và những hàm tiền thân của chúng đã trải qua quá trình phát triển phức tạp mới đưa đến phiên bản ngày nay. Tôi sẽ rút gọn lại và chỉ diễn giải kết cục thôi. Một tam giác vuông có, dĩ nhiên, một góc vuông, nhưng hai góc còn lại là tùy ý, dù vậy tổng của chúng bằng 90°. Liên quan tới một góc bất kỳ có ba hàm số, đó là những quy tắc để tính toán một con số liên quan. Với góc được ký hiệu là A trong hình 5, sử dụng các ký hiệu truyền thống a, b, c cho ba cạnh, ta định nghĩa sine (sin), cosine (cos), và tang (tan) như sau:

sin A = a / c , cos A = b / c , tan A = a / b

Các đại lượng này chỉ phụ thuộc vào góc A , bởi vì tất cả các tam giác vuông với một góc A cho trước là đồng dạng, chỉ khác nhau về kích cỡ.

Hình 5 Lượng giác học dựa trên một tam giác vuông.

Hệ quả là, có thể lập bảng các giá trị của sin, cos, và tan cho một khoảng các góc, và sau đó sử dụng chúng để tính toán các đặc trưng của các tam giác vuông. Một ứng dụng tiêu biểu, đã có từ thời cổ đại, là tính toán độ cao của một cây cột chỉ sử dụng các phép đo được thực hiện tại mặt đất. Giả sử rằng, ở khoảng cách 100m, góc nhìn đỉnh cao nhất của cột là 22°. Lấy A = 22° trong hình 5, như vậy a là chiều cao của cột. Khi đó, theo định nghĩa của hàm tan, ta có:

tan 22° = a /100

do đó

a = 100tan22°

Vì tan22° = 0,404, chính xác tới 3 chữ số sau dấu phẩy, ta suy ra a = 40,4m.

Hình 6 Chia một tam giác thành hai tam giác vuông

Một khi đã có các hàm lượng giác, ta có thể mở rộng định lý Pythagor cho trường hợp tam giác không có góc vuông. Hình 6 trình bày một tam giác với góc C và các cạnh a, b, c . Chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông như trên hình. Khi đó áp dụng định lý Pythagor hai lần (cho hai tam giác vuông) và sau một vài tính toán đại số 4 ta được:

a 2 + b 2 - 2 ab cosC = c 2

một phương trình tương tự với công thức Pythagor, ngoại trừ số hạng -2 ab cosC. Định lý hàm số cos này có cùng vai trò như định lý Pythagor, đó là liên hệ c với a và b , nhưng bây giờ chúng ta phải thêm vào các thông tin về góc C .

Định lý hàm số cos là một trong những rường cột của lượng giác học. Nếu ta biết hai cạnh của tam giác và góc xen giữa chúng, ta có thể sử dụng chúng để tính cạnh còn lại. Các phương trình khác cho phép ta tính được các góc còn lại. Tất cả các phương trình này đều có thể truy nguyên tận cùng về tam giác vuông.

Được trang bị các phương trình lượng giác và dụng cụ đo lường thích hợp, chúng ta có thể tiến hành trắc lượng và lập nên các bản đồ chính xác. Đây không phải là ý tưởng gì mới lạ, nó đã xuất hiện trong Rhind Papyrus, một tập hợp các kỹ thuật toán học của người Ai Cập có niên đại từ năm 1650 TCN . Nhà triết học Hy Lạp Thales đã sử dụng hình học trong tam giác để đánh giá chiều cao các kim tự tháp ở Giza vào khoảng năm 650 TCN . Hero xứ Alexandria đã mô tả chính kỹ thuật đó vào năm 50 SCN . Vào khoảng năm 240 TCN , nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes đã tính toán kích thước Trái Đất dựa vào quan sát góc của Mặt Trời với mặt đất vào giữa trưa ở hai nơi khác nhau: Alexandria và Syene (bây giờ là Aswan), Ai Cập. Một hậu bối của các học giả Ả Rập đã bảo tồn và phát triển các phương pháp này và ứng dụng chúng đặc biệt cho các đo đạc thiên văn như đo kích thước của Trái Đất.

Công việc trắc lượng được bắt đầu vào năm 1533 khi người vẽ bản đồ người Hà Lan Gemma Frisius giải thích cách sử dụng lượng giác để lập ra một bản đồ chính xác trong tác phẩm Cuốn sách liên quan đến vấn đề mô tả vị trí (Libellus de Locorum Describendorum Ratione ). Tin đồn về phương pháp này lan truyền khắp châu Âu và đến tai nhà quý tộc, nhà thiên văn học người Đan Mạch Tycho Brahe. Năm 1579, Tycho đã sử dụng nó để vẽ một bản đồ chính xác của hòn đảo Hven, nơi đặt đài thiên văn của ông. Năm 1615, nhà toán học người Hà Lan Willebrord Snellius (Snel van Royen) đã phát triển phương pháp này, về cơ bản, thành dạng hiện đại của nó: tam giác đạc. Khu vực cần vẽ bản đồ được phủ bởi một mạng các tam giác. Bằng cách đo một chiều dài ban đầu một cách thật cẩn thận, và đo các góc, ta có thể tính được vị trí các góc của tam giác, và từ đó có thể tính được các đặc trưng thú vị khác bên trong chúng. Snellius đã tính được khoảng cách giữa hai thị trấn của Hà Lan, Alkmaar và Bergen op Zoom, khi sử dụng mạng 33 tam giác. Sở dĩ ông chọn hai thị trấn này là vì chúng nằm cùng trên một kinh tuyến, và cách nhau chính xác một độ cung. Biết được khoảng cách giữa chúng, ông tính được kích thước của Trái Đất, kết quả này được ông công bố trong cuốn Eratosthenes của Hà Lan (Eratosthenes Batavus ) vào năm 1617. Nó đạt độ chính xác khoảng 4%. Ông cũng thay đổi các phương trình của lượng giác để phản ánh bản chất cầu của bề mặt Trái Đất, một bước quan trọng trong việc hướng tới sự đạo hàng hiệu quả hơn.

Tam giác đạc là một phương pháp gián tiếp để tính toán khoảng cách nhờ sử dụng góc. Khi khảo sát một vùng đất phẳng, một khu công trình hay một quốc gia, vấn đề thực tiễn chính cần quan tâm là, đo góc thì dễ dàng hơn đo khoảng cách. Phép tam giác đạc cho phép ta đo rất ít khoảng cách nhưng đo rất nhiều góc, sau đó mọi thứ còn lại được suy ra từ các phép tính lượng giác. Phương pháp này bắt đầu từ việc kẻ một đường thẳng giữa hai điểm, gọi là đường cơ sở, và đo độ dài của nó một cách trực tiếp với độ chính xác rất cao. Sau đó chúng ta chọn một điểm nhô lên trong vùng đất mà có thể nhìn thấy từ cả hai đầu của đường cơ sở và đo các góc từ cả hai đầu của đường cơ sở này tới điểm đó. Bây giờ chúng ta có một tam giác và chúng ta biết một cạnh của nó và hai góc, những điều này cố định hình dạng và kích cỡ của tam giác. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng lượng giác để tính toán hai cạnh còn lại.

Thực tế, bây giờ chúng ta có thêm hai đường cơ sở nữa: các cạnh mới tính được của tam giác. Từ các cạnh đó, chúng ta có thể đo được các góc tới các điểm khác, ở xa hơn. Tiếp tục quá trình này để tạo nên một mạng các tam giác phủ kín cả vùng đất cần vẽ bản đồ. Bên trong mỗi tam giác, quan sát các góc tới tất cả các điểm đáng chú ý - tháp nhà thờ, ngã tư, vân vân. Cùng một mẹo lượng giác như trên, ta có thể xác định vị trí chính xác của chúng. Ở bước cuối cùng, sự chính xác của toàn bộ quá trình đo đạc có thể được kiểm tra bằng cách đo trực tiếp một trong những cạnh cuối cùng.

Vào cuối thế kỷ 18, phép tam giác đạc được sử dụng thường xuyên trong công việc đo vẽ bản đồ. Bắt đầu từ 1783, Cục bản đồ Anh quốc phải mất 70 năm mới hoàn thành nhiệm vụ này. Bản đồ lượng giác lớn của Ấn Độ, trong đó bao gồm việc lập bản đồ của cả dãy Himalaya và xác định chiều cao của đỉnh Everest, được bắt đầu từ 1801. Đến thế kỷ 21, hầu hết các bản đồ cỡ lớn được thực hiện nhờ sử dụng các ảnh vệ tinh và GPS (hệ thống định vị toàn cầu). Phép tam giác đạc cụ thể không còn được sử dụng nữa. Nhưng nó vẫn còn đó, ẩn đằng sau các phương pháp được sử dụng để tính toán vị trí từ dữ liệu vệ tinh.

Định lý Pythagor cũng đóng vai trò sống còn đối với việc phát minh ra hình học giải tích. Đây là một cách để biểu diễn các hình hình học bằng các con số, nhờ sử dụng hệ thống các đường, được gọi là các trục tọa độ, trên đó đánh dấu bởi các con số. Hệ thống được biết đến nhiều nhất có lẽ là hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng, tên gọi này là nhằm vinh danh nhà toán học, triết học người Pháp René Descartes, một trong những người tiên phong vĩ đại trong lĩnh vực này - mặc dầu ông không phải là người đầu tiên. Hãy vẽ hai đường thẳng: một đường nằm ngang, được đánh dấu là x , và một đường thẳng đứng, được đánh dấu là y. Các đường này gọi là các trục tọa độ, và giao điểm của chúng gọi là gốc tọa độ. Đánh dấu các điểm dọc trên hai trục dựa theo khoảng cách của chúng đến gốc tọa độ, giống như những vạch trên chiếc thước kẻ vậy: các số dương nằm ở bên phải (trên trục x ) và phía trên (trên trục y ), số âm nằm ở bên trái (trên trục x ) và phía dưới (trên trục y ). Bây giờ chúng ta có thể xác định bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng theo hai số x và y , gọi là các tọa độ của nó, bằng cách nối điểm đó với các trục như trên hình 7. Cặp số ( x, y ) hoàn toàn xác định vị trí của điểm đó.

Hình 7 Hai trục và tọa độ của một điểm.

Các nhà toán học vĩ đại của châu Âu thế kỷ 17 đã nhận ra rằng, trong phạm vi này, một đường thẳng hay đường cong trong mặt phẳng sẽ tương ứng với tập các nghiệm ( x, y ) của một phương trình nào đó với biến x và y . Chẳng hạn, phương trình y = x xác định một đường chéo từ bên trái phía dưới tới bên phải phía trên, bởi vì ( x, y ) nằm trên đường thẳng đó nếu và chỉ nếu y = x . Tổng quát, một phương trình tuyến tính - có dạng ax + by = c với a, b, c là các hằng số - tương ứng với một đường thẳng, và ngược lại.

Vậy phương trình nào tương ứng với một đường tròn? Đó chính là nơi phương trình Pythagor xuất hiện. Nó ngụ ý rằng khoảng cách r từ gốc tọa độ tới điểm ( x, y ) thỏa mãn phương trình:

r 2 = x 2 + y 2

và chúng ta có thể giải phương trình này theo r để thu được:

Vì tập tất cả các điểm nằm cách gốc tọa độ một khoảng r không đổi chính là đường tròn bán kính r với tâm nằm ở gốc tọa độ, do đó chính phương trình này xác định một đường tròn. Tổng quát hơn, đường tròn bán kính r với tâm ở ( a, b) tương ứng với phương trình

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2

và cũng chính phương trình đó xác định khoảng cách r giữa 2 điểm ( x, y ) và ( a, b ). Do đó định lý Pythagor cho ta biết hai điều quan trọng: các phương trình nào xác định đường tròn, và làm thế nào tính được khoảng cách khi biết các tọa độ.

Bản thân định lý Pythagor đã là rất quan trọng, nhưng nó thậm chí còn phát huy tầm ảnh hưởng mạnh hơn thông qua những tổng quát hóa của mình. Ở đây tôi sẽ chỉ tiếp tục theo đuổi một nhánh của các phát triển sau này, để dẫn tới kết nối với thuyết tương đối mà chúng ta sẽ trở lại ở chương 13.

Phép chứng minh định lý Pythagor trong bộ Cơ sở của Euclid đã đặt nó vào trong địa hạt của hình học Euclid một cách vững chắc. Đã có thời gian cụm từ đó có thể thay thế chỉ bằng từ “hình học”, bởi vì khi đó người ta coi hình học Euclid là hình học đích thực của không gian vật lý. Đó là hiển nhiên, giống như hầu hết các điều được coi là hiển nhiên, nhưng rồi hóa ra lại là sai lầm.

Euclid rút ra tất cả các định lý của ông từ một số lượng nhỏ các giả thiết cơ bản, mà ông phân loại chúng như là các định nghĩa, tiên đề và các khái niệm chung. Công trình của ông hết sức hài hòa, trực quan và cô đọng, chỉ với một ngoại lệ, đó là tiên đề thứ năm của ông: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo thành các góc trong cùng phía nhỏ hơn hai lần góc vuông, thì hai đường thẳng đó, nếu được kéo ra vô hạn, sẽ cắt nhau ở phía mà tổng các góc là nhỏ hơn hai vuông”. Hơi dài dòng một chút, hình 8 có thể sẽ có ích đối với bạn.

Hình 8 Tiên đề đường thẳng song song của Euclid.

Trong hơn một ngàn năm, các nhà toán học đã tìm cách sửa chữa cái mà họ coi là một khuyết điểm. Họ không chỉ tìm kiếm điều gì đó đơn giản hơn và trực quan hơn mà vẫn đạt được cùng kết quả, mặc dù một vài trong số họ đã tìm thấy những thứ như thế. Mà họ muốn tìm cách từ bỏ hoàn toàn tiên đề vụng về này bằng cách chứng minh nó. Sau một vài thế kỷ, cuối cùng các nhà toán học đã nhận ra rằng có những hình học khác, “phi Euclid”, nghĩa là chứng minh đó không tồn tại. Các loại hình học mới này cũng nhất quán về mặt logic như hình học Euclid, và chúng cũng tuân theo tất cả các tiên đề của Euclid ngoại trừ tiên đề đường thẳng song song. Chúng có thể được diễn giải như hình học của các đường trắc địa - đường ngắn nhất - trên các mặt cong, hình 9. Điều này đã thu hút sự chú ý đến ý nghĩa của độ cong.

Mặt phẳng của Euclid là phẳng, có độ cong bằng 0. Một mặt cầu có độ cong như nhau ở mọi điểm và dương: ở lân cận bất kỳ điểm nào trông cũng giống như một mái vòm. (Một điểm kỹ thuật tinh tế: các đường tròn lớn gặp nhau ở hai điểm, chứ không phải một điểm như các tiên đề của Euclid đòi hỏi, như vậy hình học cầu được sửa đổi bằng cách đồng nhất các điểm đối cực trên mặt cầu - coi chúng như một. Mặt cong bây giờ trở thành cái gọi là mặt phẳng xạ ảnh và hình học trên đó được gọi là hình học elliptic.) Cũng tồn tại các mặt có độ cong âm không đổi: ở lân cận bất cứ điểm nào trông cũng giống như chiếc yên ngựa. Mặt như thế được gọi là mặt hyperbolic, và nó có thể biểu diễn nôm na bằng nhiều cách. Có lẽ cách đơn giản nhất là xem nó như phần trong của một đĩa tròn, và định nghĩa “đường thẳng” là một cung tròn cắt biên của đĩa dưới một góc vuông (Hình 10).

Hình 9 Độ cong của một mặt. Trái: độ cong 0;

Giữa: độ cong dương; Phải: độ cong âm.

Hình 10 Mô hình đĩa của mặt hyperbolic. Cả ba đường thẳng đi qua P đều không cắt đường L .

Dường như trong khi hình học phẳng có thể là “phi Euclid”, thì điều đó lại là bất khả đối với hình học của không gian. Bạn có thể bẻ cong một mặt bằng cách đẩy nó vào chiều thứ ba, nhưng bạn không thể bẻ cong không gian bởi vì không còn chiều dư nào để đẩy vào nữa. Tuy nhiên, đây là một quan điểm ngây thơ. Chẳng hạn, chúng ta có thể mô hình hóa không gian hyperbolic ba chiều bằng cách sử dụng phần trong của mặt cầu. Các đường thẳng được mô hình hóa bởi các cung tròn cắt biên dưới một góc vuông, còn mặt phẳng là các phần của những mặt cầu tạo với biên một góc vuông. Hình học này là ba chiều, thỏa mãn tất cả các tiên đề của Euclid ngoại trừ tiên đề thứ năm, và theo nghĩa nào đó có thể khẳng định nó xác định một không gian cong ba chiều. Nhưng nó không cong xung quanh bất kỳ thứ gì, hay cong theo một hướng mới nào.

Nó chỉ cong mà thôi.

Với tất cả các hình học mới sẵn có này, một quan điểm mới bắt đầu chiếm vị trí trung tâm - nhưng là trong vật lý chứ không phải toán học. Vì không gian không nhất thiết phải là Euclid, vậy nó có hình dạng như thế nào? Các nhà khoa học nhận ra rằng thực tế họ không hề biết. Năm 1813, Gauss, khi biết rằng trong một không gian cong tổng các góc trong của một tam giác không bằng 180o, đã đo các góc của một tam giác tạo thành từ ba đỉnh núi Brocken, Hohehagen và Inselberg. Ông thu được một tổng lớn hơn 180o là 15 giây cung. Nếu kết quả này chính xác, nó ngụ ý rằng không gian (chí ít là trong vùng đó) có độ cong dương. Nhưng bạn sẽ cần một tam giác lớn hơn rất nhiều và các công cụ đo chính xác hơn nữa để loại bỏ các sai số do quan sát. Vì vậy những quan sát của Gauss chưa đủ thuyết phục. Không gian vẫn có thể là Euclid, và cũng có thể không.

Nhận xét của tôi rằng không gian hyperbolic ba chiều “chỉ cong thôi” phụ thuộc vào quan điểm mới về độ cong, cũng khởi nguồn từ Gauss. Mặt cầu có độ cong dương không đổi, còn mặt phẳng hyperbolic có độ cong âm không đổi. Nhưng độ cong của một mặt không nhất thiết phải là hằng số. Nó có thể cong rất mạnh ở chỗ này, nhưng cong ít hơn ở những chỗ khác. Thực tế, nó có thể có độ cong dương ở một số vùng, nhưng lại âm ở những vùng khác. Độ cong có thể biến thiên liên tục từ vị trí này tới vị trí khác. Nếu một mặt trông giống như khúc xương chó thì hai bầu tròn ở hai đầu có độ cong dương nhưng phần nối chúng lại có độ cong âm.

Gauss đã tìm kiếm một công thức để đặc trưng cho độ cong của một mặt ở một điểm bất kỳ. Khi ông tìm ra và công bố nó trong cuốn Nghiên cứu tổng quan về các mặt cong (Disquisitiones Generales Circa Superficies Curva ) vào năm 1828, ông đã đặt tên nó là “định lý đáng chú ý”. Vậy điều gì là đáng chú ý ở đây? Gauss đã xuất phát từ quan điểm ngây thơ về độ cong: nhúng mặt đó vào không gian ba chiều và tính toán xem nó bị cong như thế nào. Nhưng kết quả tính toán chỉ cho ông thấy rằng không gian xung quanh không có ảnh hưởng gì cả. Nó không có mặt trong công thức. Ông viết: “Công thức... tự bản thân nó dẫn tới định lý đáng chú ý: Nếu một mặt cong được phát triển trên bất kỳ mặt cong nào khác, thì độ cong tại mỗi điểm đều không thay đổi.” Chữ “được phát triển” ở đây theo ý ông có nghĩa là “được cuốn quanh”.

Hãy lấy một tờ giấy phẳng, độ cong bằng 0. Bây giờ cuốn nó quanh một cái chai. Nếu cái chai là hình trụ thì tờ giấy sẽ cuốn hoàn hảo quanh đó mà không bị nhãn, kéo căng hay bị xé rách. Nhìn bên ngoài thì nó bị uốn cong, nhưng đây là sự uốn cong tầm thường, bởi vì nó không làm thay đổi dạng hình học của tờ giấy theo bất kỳ cách nào. Nó chỉ làm thay đổi cách liên hệ của tờ giấy với không gian xung quanh. Vẽ một tam giác vuông trên tờ giấy phẳng, đo các cạnh của nó, kiểm tra định lý Pythagor. Bây giờ cuốn hình vẽ quanh cái chai. Độ dài các cạnh được đo dọc theo tờ giấy không thay đổi. Định lý Pythagor vẫn còn đúng.

Tuy nhiên, mặt cầu có độ cong khác 0. Vì vậy không thể cuốn khít một tờ giấy quanh nó mà không phải gấp, phải kéo dãn ra, hay làm rách giấy. Hình học trên mặt cầu khác biệt một cách căn bản với hình học phẳng. Ví dụ, điểm giao giữa xích đạo của Trái Đất với các kinh tuyến 0° và 90° nối tới điểm cực bắc của nó xác định một tam giác có ba góc vuông và ba cạnh bằng nhau (giả sử rằng Trái Đất là hình cầu). Như vậy định lý Pythagor không còn đúng nữa.

Ngày nay chúng ta gọi độ cong theo nghĩa nội tại của nó là “độ cong Gauss”. Sử dụng một sự tương tự sống động, Gauss đã giải thích vì sao nó lại quan trọng, và lời giải thích này vẫn được dùng đến ngày nay. Hãy tưởng tượng một con kiến bị giới hạn trên mặt đang xét. Làm cách nào con kiến có thể phát hiện ra bề mặt đó có bị cong hay không? Nó không thể bước ra bên ngoài bề mặt để xem mặt đó có cong hay không. Nhưng nó có thể sử dụng công thức của Gauss để thực hiện các đo đạc phù hợp chỉ thuần túy trên bề mặt đó. Chúng ta có cùng vị thế như con kiến khi cố gắng tìm ra dạng hình học thực sự cho không gian của mình. Chúng ta không thể bước ra bên ngoài không gian đó. Tuy nhiên, trước khi có thể tranh đua đo đạc với con kiến, chúng ta cần có một công thức tính độ cong của một không gian ba chiều. Gauss không có nó. Nhưng một trong các học trò của ông, đầy táo bạo, tuyên bố rằng anh đã có trong tay công thức đó.

Người học trò đó là Georg Bernhard Riemann, và anh ta đang cố gắng giành được học vị mà các đại học ở Đức gọi là Habilitation, bước tiếp sau của học vị tiến sĩ. Vào thời của Riemann, có được học vị đó có nghĩa là bạn có thể thu phí của sinh viên cho bài giảng của bạn. Từ đó cho tới bây giờ, để nhận được Habilitation đòi hỏi phải trình bày nghiên cứu của bạn trong một bài giảng đại chúng đồng thời cũng là một bài thi. Ứng viên sẽ đưa ra vài chủ đề và người chấm thi, trong trường hợp của Riemann là Gauss, sẽ chọn một trong số đó. Riemann, một tài năng toán học lỗi lạc, đã liệt kê ra vài chủ đề chính thống mà ông biết là đã lạc hậu, nhưng như một tia sáng vụt lóe trong tâm trí, ông cũng đề xuất Về những giả thuyết trong cơ sở của hình học (On the hypotheses which lies at the foundation of geometry ). Gauss đã quan tâm tới chủ đề này từ lâu và lẽ tự nhiên, ông đã chọn nó cho bài thi của Riemann.

Trong một thoáng, Riemann hối hận vì đã đưa ra một chủ đề đầy thử thách như vậy. Ông vốn rất không thích nói ở chỗ đông người, vả lại ông cũng chưa suy nghĩ sâu sắc, chi tiết về mặt toán học cho đề tài này. Ông mới chỉ có vài ý tưởng mơ hồ, mặc dù hấp dẫn, về không gian bị uốn cong, bất kể với số chiều thế nào. Những gì Gauss đã làm cho trường hợp hai chiều, với định lý đáng chú ý của ông, thì Riemann cũng muốn làm như thế cho số chiều bất kỳ. Và bây giờ ông phải trình bày, và phải làm nhanh. Bài giảng hiện ra lờ mờ. Áp lực gần như làm cho ông suy nhược về tinh thần, và công việc hằng ngày của ông là trợ tá cho Wilhelm Weber, một đồng nghiệp của Gauss, với các thí nghiệm về điện xem ra chẳng giúp được gì cho ông lúc này. Nhưng khoan, có thể là có đấy, vì trong khi Riemann nghĩ về mối liên hệ giữa lực điện và lực từ trong công việc hằng ngày, ông nhận ra rằng lực có thể liên quan tới độ cong. Lần ngược trở lại, ông có thể sử dụng toán học của các lực để định nghĩa độ cong, như bài thi của ông đòi hỏi.

Năm 1854, Riemann trình bày bài giảng của ông và không hề ngạc nhiên, nó đã được chào đón một cách nồng nhiệt. Ông bắt đầu với việc định nghĩa một “đa tạp” ( manifold ). Một cách hình thức, một “đa tạp” được xác định bởi một hệ rất nhiều các tọa độ, cùng với một công thức để xác định khoảng cách giữa các điểm lân cận, bây giờ được gọi là metric Riemann. Nói một cách đơn giản, một đa tạp là một không gian đa chiều với tất cả những tính chất đẹp đẽ của nó. Đỉnh cao trong bài giảng của Riemann là một công thức tổng quát cho định lý đáng chú ý của Gauss: nó định nghĩa độ cong của đa tạp chỉ theo metric của đa tạp đó. Và tại đây câu chuyện trở thành một vòng tròn khép kín giống như con rắn Orobouros nuốt chính cái đuôi của nó, bởi vì metric này chứa đựng những vết tích rõ ràng của định lý Pythagor.

Ví dụ, giả sử ta có một đa tạp ba chiều. Tọa độ của một điểm trên đó là ( x, y, z ) và ( x + d x , y + d y , z + d z ) là tọa độ một điểm lân cận, với d có nghĩa là “phần rất nhỏ” (chẳng hạn, d x là “phần rất nhỏ của x ”). Nếu không gian là Euclid, với độ cong bằng 0, thì khoảng cách ds giữa hai điểm thỏa mãn phương trình:

d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2

và đây chẳng qua chỉ là định lý Pythagor giới hạn cho các điểm gần nhau. Nếu không gian bị uốn cong, với độ cong biến thiên từ điểm này tới điểm khác, công thức tương tự, tức metric, sẽ có dạng sau:

d s 2 = X d x 2 + Y d y 2 + Z d z 2 + 2 U d x d y + 2 V d x d z + 2 W d y d z

Ở đây X , Y , Z , U , V , W có thể phụ thuộc vào x , y và z . Công thức này trông có vẻ hơi dài dòng, nhưng giống như định lý Pythagor, nó bao gồm tổng các bình phương (và các tích đại loại như d x d y ) cộng với vài đại lượng nhỏ lẻ nữa. Các số 2 xuất hiện bởi vì công thức trên có thể gói gọn về dạng bảng 3x3 hay ma trận:

với X , Y , Z xuất hiện một lần nhưng U , V , W xuất hiện hai lần. Bảng này đối xứng theo đường chéo; theo ngôn ngữ của hình học vi phân thì nó là một tensor đối xứng. Sự tổng quát hóa của Riemann cho định lý đáng chú ý của Gauss là một công thức cho độ cong của đa tạp, tại bất kỳ điểm nào cho trước, biểu diễn theo tensor này. Trong trường hợp đặc biệt khi định lý Pythagor áp dụng được, độ cong trở thành 0. Do đó, sự hữu hiệu của phương trình Pythagor chính là một phép thử để kiểm tra sự vắng mặt của độ cong. Giống như công thức của Gauss, biểu thức độ cong của Riemann chỉ phụ thuộc vào metric của đa tạp. Một con kiến bị cầm tù trên đa tạp có thể biết được metric bằng cách đo đạc các tam giác rất nhỏ và tính toán độ cong. Độ cong là một tính chất nội tại của một đa tạp, độc lập với không gian xung quanh. Thật vậy, metric đã xác định hình học rồi, vì thế không cần tới không gian xung quanh nữa. Đặc biệt, người-kiến chúng ta có thể đặt câu hỏi về hình dạng của vũ trụ bao la và đầy bí ẩn này, và hy vọng tìm ra câu trả lời bằng cách thực hiện các quan sát mà không cần phải bước ra ngoài vũ trụ. Quả là tin tức tốt lành, vì chúng ta không thể làm được điều đó.

Riemann khám phá ra công thức của mình bằng cách sử dụng lực để định nghĩa hình học. Năm mươi năm sau, Einstein đã đảo ngược ý tưởng của Riemann, ông sử dụng hình học để định nghĩa lực hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng, và khơi nguồn các ý tưởng mới về hình dạng của vũ trụ (xem chương 13). Đây là một sự tiến triển đáng ngạc nhiên của các sự kiện. Phương trình Pythagor xuất hiện lần đầu tiên cách đây khoảng 3500 năm để đo đạc đất đai. Nó được mở rộng cho trường hợp tam giác không có góc vuông và tam giác trên mặt cầu, cho phép chúng ta vẽ bản đồ các lục địa và đo đạc Trái Đất. Và một sự tổng quát hóa đáng chú ý cho phép chúng ta tìm hiểu hình dạng của vũ trụ. Các ý tưởng lớn thường có những khởi đầu nhỏ bé như thế đó.