2 Rút ngắn các thủ tục tính toán Logarit

Phương trình này cho ta biết điều gì?

Cách nhân hai số bằng cách cộng hai số khác có liên quan.

Tại sao nó lại quan trọng?

Vì phép cộng đơn giản hơn phép nhân nhiều.

Nó đã dẫn tới những gì?

Các phương pháp hiệu quả hơn trong việc tính toán các hiện tượng thiên văn như thiên thực và quỹ đạo các hành tinh. Các phương pháp tính nhanh trong tính toán khoa học. Thước logarit: người bạn trung thành của các kỹ sư. phương pháp tính độ phân rã phóng xạ và psychophysics (tâm vật lý ) của tri giác con người.

Những con số bắt nguồn từ các vấn đề thực tiễn: ghi chép tài sản, như số lượng động vật hay đất đai, và các giao dịch tài chính như thu thuế và kế toán. Bên cạnh các thẻ gỗ khắc các vạch đơn giản như ||||, các ký hiệu số cổ xưa nhất được biết đến hiện nay đã được tìm thấy bên ngoài các vỏ bao bằng đất sét. Năm 8000 TCN , các nhân viên kế toán ở Mesopotamia* đã sử dụng các thẻ nhỏ bằng đất sét với nhiều hình dạng khác nhau để lưu giữ thông tin. Nhà khảo cổ Denise Schmandt-Besserat nhận ra rằng mỗi hình dạng biểu diễn một mặt hàng cơ bản: hình cầu cho thóc lúa, hình trứng cho lọ dầu, v.v. Để bảo mật, các thẻ được niêm phong bằng bao đất sét. Nhưng sẽ thật phiền toái nếu phải phá vỡ bao bì đất sét để xem có bao nhiêu thẻ ở bên trong, vì thế các nhân viên kế toán thời cổ đại vạch các ký hiệu bên ngoài để chỉ số lượng bên trong. Cuối cùng họ nhận ra rằng một khi đã có các ký hiệu này, họ có thể loại bỏ các thẻ. Kết quả là xuất hiện một chuỗi ký hiệu các con số - nguồn gốc của tất cả các ký hiệu số sau này, và có thể của cả chữ viết nữa.

Xuất hiện cùng với các con số là số học: các phương pháp cộng, trừ, nhân và chia các số. Những dụng cụ như bàn tính đã được sử dụng để tính tổng, sau đó kết quả được ghi lại

Lưỡng Hà, thuộc lưu vực sông Tigris và Euphrates, ngày nay là Iraq, một phần đông bắc của Syria, đông nam Thổ Nhĩ Kỳ và tây bắc của Iran - ND dưới dạng ký hiệu. Theo thời gian, con người đã tìm ra những phương thức sử dụng các ký hiệu để tiến hành tính toán mà không cần sự trợ giúp cơ học, mặc dù bàn tính vẫn được sử dụng rộng rãi ở nhiều nơi trên thế giới, trong khi máy tính tay điện tử đã thay thế cho những tính toán bằng bút và giấy ở hầu hết các nước khác.

Số học cũng đã chứng minh tầm quan trọng của mình theo nhiều cách khác, đặc biệt là trong thiên văn và trắc địa. Khi những đường nét cơ bản của khoa học vật lý bắt đầu hình thành, các nhà khoa học trẻ cần thực hiện những tính toán, bằng tay, phức tạp hơn rất nhiều. Thông thường, công việc đó lấy đi của họ rất nhiều thời gian, có khi là nhiều tháng hoặc nhiều năm, cản trở những hoạt động sáng tạo hơn của họ. Rốt cục, việc đẩy nhanh tốc độ của quá trình tính toán đã trở nên cần thiết. Rất nhiều các máy tính cơ học đã được phát minh, tuy nhiên bước đột phá quan trọng nhất vẫn là về nhận thức: suy nghĩ trước, tính toán sau. Sử dụng toán học một cách thông minh, bạn có thể biến các tính toán phức tạp trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Những ngành toán học mới nhanh chóng phát triển một cách tự thân, và cuối cùng đã có được những hệ quả sâu sắc cả về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn. Ngày nay, những ý tưởng đầu tiên đó đã trở thành công cụ không thể thay thế xuyên suốt khoa học, thậm chí cả trong tâm lý học và các khoa học nhân văn. Chúng được sử dụng rộng rãi cho tới tận những năm 1980, khi các máy vi tính biến chúng thành lỗi thời đối với các mục đích thực hành, dù vậy, tầm quan trọng của chúng trong toán học và khoa học vẫn tiếp tục phát triển.

Ý tưởng trung tâm là một kỹ thuật toán học gọi là logarit. Người sáng tạo ra nó là một điền chủ người Scotland, nhưng phải cần tới một giáo sư hình học rất quan tâm tới hàng hải và thiên văn học, thì mới thay thế ý tưởng xuất sắc nhưng còn nhiều sai sót của vị điền chủ kia bằng một ý tưởng tốt hơn nhiều.

Vào tháng 3 năm 1615, Henry Briggs đã viết một lá thư cho James Ussher, ghi lại một thời khắc quan trọng của lịch sử khoa học:

Napper, huân tước Markinston, đã đặt vào đầu và tay tôi một công trình với ý tưởng mới và đáng ngưỡng mộ của ông về logarit. Tôi hy vọng có thể gặp ông ấy vào hè này, cầu Chúa phù hộ, vì tôi chưa từng gặp quyển sách nào làm tôi hài lòng hay ngạc nhiên hơn.

Briggs là giáo sư hình học đầu tiên ở đại học Gresham, London, và “Napper, huân tước Markinston” là John Napier, vị huân tước đời thứ 8 của Merchiston, nay là một phần của thành phố Edinburgh ở Scotland. Napier có vẻ hơi bí ẩn; ông quan tâm nhiều tới thần học, chủ yếu tập trung vào sách Khải Huyền. Đối với ông, công trình quan trọng nhất của mình là Một khám phá minh bạch về toàn bộ sách Khải Huyền của thánh John (A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St John ) - cuốn sách đã đưa ông tới dự đoán rằng ngày tàn của thế giới là vào năm 1688 hay 1700. Ông được cho là có dính líu tới cả thuật giả kim lẫn thuật gọi hồn, và những mối quan tâm của ông đối với thế giới huyền bí đã khiến ông được biết đến như một phù thủy. Theo lời đồn, ông luôn mang một con nhện đen trong một cái hộp nhỏ tới mọi nơi mà ông đến, và ông cũng có một “người thân”, hay người bạn ma thuật: một con gà trống tơ đen. Theo Mark Napier, một hậu duệ của ông, ông đã dùng nó để bắt những người giúp việc hay trộm cắp. Ông giam những kẻ tình nghi vào một căn phòng cùng với con gà tơ đen, lệnh cho họ vuốt ve nó và nói với họ rằng con chim ma thuật của ông sẽ phát hiện chính xác kẻ trộm. Nhưng hoạt động thần bí của Napier có cốt lõi duy lý, mà trong ví dụ cụ thể này, thể hiện ở chỗ ông rắc trên con gà một lớp bồ hóng mỏng. Một người giúp việc vô tội sẽ đủ tự tin để vuốt ve con gà như được chỉ dẫn và sẽ có dấu bồ hóng trên tay. Trong khi đó, một kẻ phạm tội, do sợ hãi bị phát hiện, sẽ tránh đụng vào con gà. Và vậy là, trớ trêu thay, bàn tay sạch sẽ lại chứng minh mình phạm tội.

Napier đã dành nhiều thời gian cho toán học, đặc biệt là những phương pháp đẩy nhanh tốc độ các phép tính số học phức tạp. Một phát minh của ông là bảng tính Napier, một tập hợp gồm 10 que gỗ có đánh dấu các số, dùng để đơn giản hóa quá trình thực hiện các phép nhân dài. Một khám phá thậm chí còn tuyệt vời hơn đã mang lại cho ông danh tiếng và tạo ra một cuộc cách mạng trong khoa học: không phải cuốn sách của ông về Khải Huyền, như ông đã hy vọng, mà là cuốn Mô tả về sức mạnh kỳ diệu của logarit (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ) xuất bản năm 1614. Lời nói đầu của nó cho thấy Napier biết chính xác cái mà ông đã tạo ra và nó hữu ích cho việc gì. 1

Thưa các nhà toán học đồng nghiệp, trong việc thực hành nghệ thuật toán học, không có gì tẻ nhạt hơn sự chậm trễ trong buồn tẻ khi thực hiện các phép nhân chia dài lê thê, rồi tìm các tỉ số, khai căn bậc hai và bậc ba, và... rất nhiều lỗi có thể phát sinh. Vì vậy, tôi đã vắt óc suy nghĩ, với một kỹ thuật chắc chắn và nhanh chóng, tôi có thể cải thiện những khó khăn nói trên. Cuối cùng, sau khi suy nghĩ rất nhiều, tôi đã tìm ra một phương pháp đáng ngạc nhiên để rút ngắn các thủ tục tính toán... Và tôi hân hạnh giới thiệu phương pháp này để các nhà toán học cùng sử dụng.

Khoảnh khắc mà Briggs nghe về logarit, ông như bị bỏ bùa. Cũng như nhiều nhà toán học cùng thời, ông đã mất rất nhiều thời gian để thực hiện các tính toán thiên văn. Chúng ta biết được điều này nhờ một lá thư khác mà ông gửi cho Ussher, đề năm 1610, có nhắc tới những tính toán thiên thực, và do Briggs trước đó đã xuất bản hai cuốn sách về các bảng số, một liên quan tới Bắc Cực và một tới hàng hải. Tất cả các công trình này đều đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ về số học và lượng giác phức tạp. Phát minh của Napier đã tiết kiệm được rất nhiều thời gian phải mất cho các công việc tẻ nhạt đó. Nhưng càng đọc tác phẩm của Napier, Briggs càng tin chắc rằng mặc dù chiến lược của Napier thật tuyệt vời, nhưng ông lại có chiến thuật sai lầm. Briggs đã đưa ra một cải tiến đơn giản nhưng hiệu quả và ông đã thực hiện một chuyến hành trình dài tới Scotland. Khi gặp nhau, “hai người đã nhìn nhau đầy ngưỡng mộ trong gần mười lăm phút trước khi mở lời” 2 .

Điều gì đã tạo nên sự ngưỡng mộ to lớn đó? Một nhận xét rất quan trọng và hiển nhiên với bất kỳ ai đã từng học số học, đó là phép cộng thì tương đối dễ, nhưng phép nhân thì không. Phép nhân đòi hỏi nhiều thao tác số học hơn phép cộng. Chẳng hạn, việc cộng hai số có mười chữ số bao gồm mười bước đơn giản, nhưng để nhân chúng thì đòi hỏi tới 200 bước. với các máy tính hiện đại, vấn đề này vẫn còn quan trọng, nhưng giờ đây chúng ẩn mình đằng sau các thuật toán được sử dụng cho phép nhân. Nhưng trong thời kỳ của Napier, tất cả đều phải làm bằng tay. Không phải là rất tuyệt vời hay sao khi có một thủ pháp toán học cho phép chuyển đổi các phép nhân khó chịu thành phép cộng nhanh và dễ dàng hơn? Nghe ra quá hay đến mức không thật, nhưng Napier nhận thấy là có thể thực hiện được. Thủ pháp ở đây là làm việc với lũy thừa của một số cố định.

Trong đại số, lũy thừa của một biến x được biểu thị bởi một số nhỏ trên đầu bên phải. Tức là xx = x 2 , xxx = x 3 , xxxx = x 4 ,... và cứ tiếp tục như thế. Ở đây như thường lệ trong đại số, đặt hai chữ cái cạnh nhau nghĩa là thực hiện phép nhân giữa chúng. Do đó, chẳng hạn 10 4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000. Bạn không nhất thiết phải mày mò lâu với các biểu thức như thế trước khi khám phá ra một cách đơn giản để tính toán, chẳng hạn 10 4 × 10 3 . Chỉ cần viết:

Số chữ số 0 trong kết quả là 7, bằng với 4 + 3. bước đầu tiên trong phép tính này là chỉ ra tại sao nó lại là 4 + 3: chúng ta gắn 4 số 10 và 3 số 10 cạnh nhau. Một cách ngắn gọn:

10 4 × 10 3 = 10 4+3 = 10 7

Hoàn toàn tương tự, bất kể giá trị của x là bao nhiêu đi nữa, nếu ta nhân lũy thừa a và lũy thừa b của nó với nhau, với a và b là số nguyên, thì ta sẽ thu được lũy thừa a + b :

x a x b = x a+b

Đây có vẻ như một công thức vô thưởng vô phạt, nhưng vế trái của nó là phép nhân hai đại lượng với nhau, trong khi ở vế phải, bước chính là cộng a và b , rõ ràng là đơn giản hơn.

Giả sử bạn muốn nhân 2,67 với 3,51. Bằng một phép nhân dài dòng, bạn sẽ nhận được 9,3717, chính xác tới hai chữ số thập phân là 9,37. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thử dùng công thức ở trên? Mẹo ở đây nằm trong cách chọn x . Nếu ta lấy x = 1,001, khi đó sau một ít tính toán số học ta thấy:

(1,001) 983 = 2,67 (1,001) 1256 = 3,51

chính xác tới hai chữ số thập phân. Công thức trên nói với chúng ta rằng 2,67 × 3,51 bằng

(1,001) 1256+983 = (1,001) 2239

kết quả chính xác tới 2 chữ số thập phân chính là 9,37.

Điểm cốt lõi của phép tính này chỉ là một phép cộng đơn giản, 1256 + 983 = 2239. Tuy nhiên, nếu bạn thử kiểm tra các phép tính số học của tôi, bạn sẽ nhanh chóng nhận ra những gì tôi đã làm khiến cho vấn đề trở nên khó hơn, chứ không hề dễ hơn. Để tính ra (1,001) 983 bạn phải nhân 1,001 với chính nó 983 lần. Và để khám phá ra 983 là lũy thừa chính xác cần sử dụng, bạn còn phải làm nhiều việc hơn nữa. Do đó, thoạt nhìn thì đây có vẻ như là một ý tưởng khá vô nghĩa.

Napier với tầm nhìn vô cùng sâu sắc của mình thì không cho là thế. Nhưng để khắc phục nó, một vài người kiên cường đã phải tính toán rất nhiều lũy thừa của 1,001, bắt đầu từ 1,001 2 và lên tới một số nào đó, đại loại như 1,001 10000 . Sau đó họ có thể công bố một bảng gồm tất cả các lũy thừa như thế. Đến đây gần như toàn bộ công việc coi như đã hoàn thành. Bạn chỉ cần di chuyển ngón tay xuống lần lượt các lũy thừa cho tới khi bạn thấy 2,67 bên cạnh 983; tương tự bạn cũng xác định được vị trí của 3,51 bên cạnh 1256. Sau đó, bạn cộng hai số này để thu được 2239. Hàng tương ứng của bảng số chỉ cho bạn biết rằng lũy thừa này của 1,001 là 9,37. Thế là xong.

Những kết quả thực sự chính xác đòi hỏi lũy thừa của số nào đó thực sự gần với 1, như 1,000001 chẳng hạn. Nó sẽ làm cho bảng trở lên lớn hơn nhiều, với một triệu lũy thừa hoặc hơn thế. Thực hiện các tính toán để lập nên bảng đó là cả một núi công việc. Nhưng chỉ phải làm nó một lần thôi . Nếu một vài thiện nhân tình nguyện hy sinh thì những thế hệ tiếp sau sẽ bót được một khối lượng tính toán khổng lồ.

Trong bối cảnh của ví dụ này, chúng ta có thể nói rằng lũy thừa 983 và 1256 là các logarit của các số 2,67 và 3,51 mà chúng ta muốn nhân. Tương tự, số 2239 là logarit của tích số 9,37 của chúng. Viết tắt logarit là log, những gì chúng ta đã làm được viết lại dưới dạng phương trình:

log ab = log a + log b

điều này đúng với mọi a và b. Sự lựa chọn 1,001 khá tùy ý được gọi là cơ số. Nếu chúng ta chọn cơ số khác, các logarit mà chúng ta tính toán cũng sẽ khác đi, nhưng với bất kỳ một cơ số cố định nào, mọi thứ đều diễn ra y như thế.

Đây là điều mà lẽ ra Napier nên làm. Nhưng bởi nhiều lý do mà chúng ta chỉ có thể phỏng đoán, ông đã thực hiện hơi khác đi. Briggs, tiếp cận kỹ thuật này với cái nhìn tươi mới hơn, đã phát hiện ra hai cách khác nhau để cải thiện ý tưởng của Napier. Vào cuối thế kỷ 16, khi Napier bắt đầu nghĩ về lũy thừa của các số, ý tưởng về việc quy phép nhân về phép cộng thực ra đã được lan truyền giữa các nhà toán học. Một phương pháp hơi phức tạp hơn được biết đến dưới cái tên “prosthapheiresis” dựa trên một công thức có liên quan đến các hàm lượng giác, đã được sử dụng ở Đan Mạch 3 . Bị hấp dẫn bởi phương pháp đó, nhưng Napier đã đủ sáng suốt để nhận ra rằng các lũy thừa của một số cố định cũng có thể làm được y như vậy một cách đơn giản hơn. Những bảng cần thiết còn chưa tồn tại - nhưng điều đó cũng dễ dàng khắc phục thôi. Một người có tinh thần vì lợi ích chung phải thực hiện công việc này. Và Napier đã tình nguyện nhận nhiệm vụ đó, nhưng ông đã mắc một sai lầm về chiến lược. Thay vì sử dụng một cơ số hơi lớn hơn 1, ông lại dùng một cơ số hơi nhỏ hơn 1. Hệ quả là, dãy các lũy thừa bắt đầu với các số lớn, nhưng nhỏ dần về sau. Điều này khiến cho các tính toán trở nên cồng kềnh hơn.

Briggs ý thức được vấn đề này và đã tìm ra cách xử lý nó: sử dụng một cơ số hơi lớn hơn 1. Ông cũng phát hiện ra một vấn đề tinh tế hơn và cũng đã xử lý nó. Nếu phương pháp của Napier được cải tiến để làm việc với các lũy thừa của một số nào đó như 1,0000000001, thì sẽ không có mối liên hệ trực tiếp nào giữa logarit của 12,3456 và 1,23456 chẳng hạn. Do vậy mà hoàn toàn không rõ là khi nào bảng có thể dừng lại . Nguyên nhân của vấn đề này là giá trị của log 10, bởi vì:

log 10 x = log 10 + log x

Thật không may, log10 rất rối rắm: với cơ số 1,0000000001, logarit của 10 là 23.025.850.929. Briggs nghĩ sẽ tốt hơn nhiều nếu cơ số có thể được chọn sao cho log10 = 1. Khi đó log10 x = 1 + log x , do đó cho dù log1,23456 bằng bao nhiêu đi nữa, bạn chỉ cần cộng thêm 1 để có log12,3456. Bây giờ bảng các logarit chỉ cần chạy từ 1 đến 10. Nếu gặp phải các số lớn hơn, bạn chỉ cần cộng thêm vào một số nguyên phù hợp.

Để đặt log10 = 1, bạn hãy làm như Napier đã làm, sử dụng cơ số 1,0000000001, nhưng sau đó bạn chia mỗi logarit cho con số bất thường 23.025.850.929. Bảng kết quả thu được bao gồm các logarit cơ số 10 mà tôi sẽ ký hiệu là log 10 x . Chúng thỏa mãn:

log 10 xy = log 10 x + log 10 y

như trước, nhưng đồng thời thỏa mãn:

log 10 10 x = log 10 x + 1

Hai năm sau, Napier mất, và Briggs đã bắt tay tính toán lập ra bảng các logarit cơ số 10. Năm 1617, ông cho xuất bản cuốn Logarit của thiên niên kỷ đầu tiên (Logarithmorum Chilias Prima ), chứa logarit của các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác tới 14 chữ số thập phân. Năm 1624 ông tiếp tục cho ra cuốn Số học của các logarit (Arithmetic Logarithmica ), một bảng logarit cơ số 10 của các số từ 1 đến 20.000 và từ 90.000 tới 100.000 với cùng độ chính xác. Những người khác nhanh chóng tiếp bước Briggs, lấp đầy những khoảng trống, và phát triển các bảng phụ trợ như logarit của các hàm lượng giác, chẳng hạn như log sin x .

Những ý tưởng tương tự lấy cảm hứng từ logarit cho phép chúng ta định nghĩa hàm lũy thừa x a của một biến dương x với a không phải là các số nguyên dương. Tất cả những điều chúng ta phải làm là nhấn mạnh rằng các định nghĩa của chúng ta phải nhất quán với phương trình x a x b = x a+b . Để tránh các tính toán khó chịu, tốt nhất là giả sử x dương, và định nghĩa x a sao cho nó cũng dương. (với x âm, cách tốt nhất là đưa ra các số phức, xem chương 5.)

Ví dụ, x 0 là gì? Hãy nhớ rằng x 1 = x , theo công thức trên, x 0 phải thỏa mãn x 0 x = x 0+1 = x . Chia cho x ta thấy rằng x 0 = 1. Vậy bây giờ x -1 bằng bao nhiêu? Công thức chỉ ra x -1 x = x -1+1 = x 0 = 1. Chia cho x ta được x -1 = 1/x. Tương tự x -2 = 1/ x 2 , x -3 = 1/ x 3 v.v.

Mọi thứ bắt đầu trở nên thú vị và hữu ích khi chúng ta nghĩ về x 1/2 . Nó phải thỏa mãn x 1/2 x 1/2 = x 1/2+1/2 = x 1 = x . Do vậy x 1/2 nhân với chính nó thì bằng x . Số duy nhất có tính chất này là căn bậc hai của x . Do đó x 1/2 = . Tương tự, x 1/3 = , căn bậc ba của x . Tiếp tục với cách này, chúng ta có thể định nghĩa x p/q cho mọi phân số p/q . Sau đó, sử dụng các phân số để xấp xỉ các số thực, chúng ta có thể định nghĩa x a cho bất kỳ số thực a nào, mà vẫn thỏa mãn phương trình x a x b = x a+b .

Đồng thời ta cũng suy ra rằng log log x , và log log x do đó chúng ta có thể tính căn bậc hai và bậc ba một cách dễ dàng thông qua việc sử dụng bảng logarit. Ví dụ, muốn tính căn bậc hai của một số ta lấy logarit của nó, chia cho 2 và sau đó tìm số nào cho ta cùng logarit như thế. với căn bậc ba, chúng ta làm tương tự nhưng chia cho 3. Những phương pháp truyền thống cho các vấn đề này rất tẻ nhạt và phức tạp. Bạn có thể thấy tại sao Napier lại nhắc đến căn bậc hai và căn bậc ba trong lời nói đầu cuốn sách của mình.

Ngay sau khi các bảng logarit hoàn chỉnh đã sẵn sàng, chúng đã trở thành công cụ không thể thay thế đối với các nhà khoa học, kỹ sư, những nhân viên trắc địa và các nhà hàng hải. Họ tiết kiệm được thời gian, sức lực, và tăng độ chính xác của các phép toán. Ban đầu, thiên văn học là đối tượng hưởng lợi lớn nhất, bởi vì các nhà thiên văn thường xuyên phải thực hiện các tính toán dài và khó. Nhà toán học, thiên văn học Pháp Pierre Simon de Laplace nói rằng việc phát minh ra logarit đã giúp cho “lao động của nhiều tháng thu lại chỉ còn ít ngày, nhân đôi tuổi thọ của nhà thiên văn, giúp họ tránh được nhiều sai sót và sự chán ghét”. Và cùng với việc sử dụng máy móc trong sản xuất ngày càng tăng, các kỹ sư bắt đầu phải sử dụng toán học ngày càng nhiều - để thiết kế các bánh răng phức tạp, phân tích độ ổn định của các cây cầu và nhà cao tầng, thiết kế xe hơi, xe tải, tàu thuyền và máy bay. Logarit là phần “cứng” trong chương trình giảng dạy toán học ở phổ thông từ một vài thập kỷ trước. Và các kỹ sư luôn mang theo vật mà thực tế tương tự với phương pháp logarit, một thể hiện vật lý của phương trình cơ bản đối với logarit với mục đích sử dụng tại chỗ. Họ gọi nó là thước logarit, và sử dụng nó thường xuyên trong các ứng dụng khác nhau từ kiến trúc tới thiết kế máy bay.

Thước logarit (hay thước trượt) đầu tiên được nhà toán học người Anh William Oughtred chế tạo vào năm 1630, dùng thang đo tròn. Sau đó, ông cải tiến mẫu thiết kế này vào năm 1632, bằng cách dùng hai thước thẳng, đó là thước trượt đầu tiên. Ý tưởng rất đơn giản: Khi bạn đặt hai thước tiếp nối với nhau thì chiều dài của chúng sẽ được cộng lại. Nếu hai thước được đánh dấu dùng thang logarit với các số được đặt cách nhau theo logarit của chúng, khi đó các số tương ứng được nhân với nhau. Ví dụ, đặt vạch số 1 ở thước thứ nhất trên vạch số 2 của thước thứ hai. Khi đó ứng với mỗi số x ở thước thứ nhất, chúng ta sẽ tìm thấy 2 x ở thước thứ hai. Tương ứng với 3 ta thấy 6, và cứ như thế, (xem hình 11). Nếu các số phức tạp hơn, chẳng hạn 2,67 và 3,51, chúng ta đặt 1 đối diện 2,67 và số tương ứng với 3,51 chính là 9,37 (tích của 2,67 và 3,51). Quả là đơn giản và dễ dàng.

Hình 11 Nhân 2 và 3 trên thước logarit.

Các kỹ sư đã nhanh chóng phát triển những loại thước logarit phức tạp hơn với các hàm lượng giác, căn bậc hai, các thang log-log (logarit của logarit) để tính toán các lũy thừa, v.v. Cuối cùng, mặc dù bây giờ logarit đã phải chịu ngồi chiếu sau máy tính kỹ thuật số, nhưng nó vẫn có vai trò to lớn trong khoa học và công nghệ, bên cạnh người bạn đồng hành không thể tách rời của nó là hàm mũ. Với logarit cơ số 10, đó là hàm 10 x ; với cơ số tự nhiên, đó là hàm số e x với e xấp xỉ bằng 2,71828. Ở mỗi cặp, hai hàm số là nghịch đảo của nhau. Nếu bạn lấy một số, tính logarit của nó, và sau đó lại lấy lũy thừa của số vừa nhận được, bạn sẽ thu được số ban đầu.

Tại sao chúng ta vẫn cần logarit trong khi bây giờ chúng ta đã có máy tính?

Vào năm 2011, trận động đất 9 độ ngoài khơi bờ biển phía đông Nhật Bản là nguyên nhân của một cơn sóng thần khổng lồ, đã tàn phá một khu vực dân cư lớn và lấy đi sinh mạng của 25.000 người. Trên bờ biển có một nhà máy điện hạt nhân, Fukushima Dai-ichi (Fukushima số 1, để tránh nhầm lẫn nó với một nhà máy điện hạt nhân khác đặt gần đó). Nhà máy này gồm sáu lò phản ứng hạt nhân: ba trong số đó đang hoạt động khi sóng thần ập đến; ba lò còn lại đang tạm ngưng hoạt động và nhiên liệu của chúng đã được chuyển sang bể chứa nước bên ngoài lò phản ứng nhưng vẫn ở bên trong các tòa nhà chứa lò.

Sóng thần đã chôn vùi hệ thống bảo vệ của lò phản ứng và cắt đứt nguồn cung cấp điện. Ba lò phản ứng (số 1, 2, 3) đang hoạt động đã được cho dừng ngay như một biện pháp an toàn, nhưng hệ thống làm lạnh của chúng vẫn còn cần phải hoạt động để chấm dứt sự nóng chảy của nhiên liệu. Tuy nhiên, sóng thần cũng đã làm hỏng các máy phát điện dự phòng dùng để cấp điện cho hệ thống làm lạnh và một số hệ thống an toàn quan trọng khác. Cấp độ dự phòng tiếp theo, các acquy, cũng nhanh chóng hết điện. Do hệ thống làm lạnh ngừng hoạt động, nhiên liệu hạt nhân trong một vài lò phản ứng bắt đầu trở nên quá nóng. Để ứng phó, điều hành viên đã sử dụng xe cứu hỏa để bơm nước biển vào ba lò phản ứng, nhưng nó lại phản ứng với lớp phủ ziriconi ở các thanh nhiên liệu tạo thành hydro. Sự gia tăng của khí hydro gây ra một vụ nổ trong tòa nhà chứa lò phản ứng số 1. Lò số 2 và số 3 cũng sóm chịu chung số phận. Nước ở trong bể của lò số 4 bị thất thoát, khiến cho nhiên liệu của lò bị phơi lộ. Vào thời gian đó, có vẻ như các điều hành viên đã lấy lại được phần nào kiểm soát, nhưng ít nhất một ngăn chứa lò đã bị nứt, và phóng xạ đã rò rỉ ra môi trường địa phương. Nhà chức trách Nhật Bản đã phải sơ tán 200.000 người dân ở khu vực xung quanh bởi vì phóng xạ đã vượt xa ngưỡng an toàn cho phép. Sáu tháng sau, TEPCO, công ty vận hành các lò phản ứng, khẳng định rằng tình hình vẫn còn rất nghiêm trọng, và cần phải làm rất nhiều việc trước khi các lò phản ứng có thể được kiểm soát hoàn toàn, nhưng họ tuyên bố sự rò rỉ phóng xạ đã ngừng lại.

Tôi không muốn phân tích ưu thế hay bất cứ điều gì khác về năng lượng hạt nhân ở đây, nhưng tôi muốn chỉ ra bằng cách nào mà logarit trả lời được một câu hỏi cực kỳ quan trọng: nếu bạn biết lượng chất phóng xạ đã bị thoát ra và thuộc loại nào, thì nó sẽ tồn tại bao lâu trong môi trường, nơi nó có thể nguy hại?

Các nguyên tố phóng xạ phân rã; tức là, chúng chuyển thành các nguyên tố khác thông qua các quá trình hạt nhân, đồng thời phát ra các hạt hạt nhân. Chính các hạt này tạo thành bức xạ. Mức phóng xạ giảm dần theo thời gian giống như nhiệt độ của một vật nóng chuyển dần sang lạnh: cụ thể là theo hàm mũ. Như vậy, theo đơn vị phù hợp mà tôi sẽ không thảo luận ở đây, độ phóng xạ N(t ) ở thời điểm t thỏa mãn phương trình:

N(t ) = N 0 e -kt

với N 0 là độ phóng xạ ban đầu, và k là hằng số phụ thuộc vào nguyên tố phóng xạ. Chính xác hơn, nó phụ thuộc vào đồng vị của nguyên tố mà ta đang xem xét.

Một thước đo thuận tiện về thời gian tồn tại của phóng xạ là chu kỳ bán rã, một khái niệm được đề xuất lần đầu năm 1907. Nó là khoảng thời gian cần để độ phóng xạ ban đầu N 0 giảm xuống còn một nửa. Để tính chu kỳ bán rã, chúng ta giải phương trình:

bằng cách lấy logarit của cả hai vế. Kết quả là:

và chúng ta có thể tính cụ thể kết quả vì k là số đã biết trước từ thực nghiệm.

Chu kỳ bán rã là một công cụ tiện lợi để đánh giá thời gian phóng xạ tồn tại. Giả sử rằng chu kỳ bán rã là một tuần, chẳng hạn. Khi đó theo tốc độ ban đầu, chất phóng xạ giảm một nửa sau một tuần, giảm xuống còn một phần tư sau hai tuần, một phần tám sau ba tuần, v.v. Phải mất 10 tuần để giảm xuống còn một phần nghìn của mức ban đầu (chính xác là 1/1024), và 20 tuần để giảm xuống còn một phần triệu.

Trong những tai nạn với các lò phản ứng hạt nhân thông thường, những sản phẩm phóng xạ quan trọng nhất là iot- 131 (một đồng vị phóng xạ của iot) và xesi-137 (một đồng vị phóng xạ của xesi). Chất đầu tiên có thể gây ung thư tuyến giáp, bởi vì tuyến giáp tập trung iot. Chu kỳ bán rã của iot- 131 chỉ là tám ngày, do đó nó gây ra ảnh hưởng nhỏ nếu có phương pháp đúng đắn, và sự nguy hiểm của nó giảm khá nhanh, trừ phi nó tiếp tục bị rò rỉ. Cách điều trị tiêu chuẩn là phát cho mọi người các viên iot nhằm làm cho cơ thể giảm hấp thụ đồng vị iot phóng xạ, nhưng biện pháp khắc phục hiệu quả nhất là ngừng uống sữa bị ô nhiễm.

Nhưng xesi-137 thì rất khác: nó có chu kỳ bán rã là 30 năm. Sẽ phải mất 200 năm để độ phóng xạ ban đầu giảm xuống còn một phần một trăm, do đó nó sẽ gây hại trong một thời gian rất dài. Vấn đề thực tế chủ yếu trong một tai nạn lò phản ứng là sự ô nhiễm của đất và các tòa nhà. Khử ô nhiễm tới một mức độ nào đó thì khả thi, nhưng rất đắt. Chẳng hạn, đất có thể được loại bỏ, mang đi, và đặt ở nơi nào đó an toàn. Nhưng nó tạo ra một số lượng lớn rác thải phóng xạ ở mức độ thấp.

Phân rã phóng xạ chỉ là một lĩnh vực trong số rất nhiều lĩnh vực mà logarit của Napier và Briggs còn tiếp tục phục vụ khoa học và nhân loại. Nếu bạn lật qua vài chương tiếp theo bạn sẽ thấy chúng xuất hiện cả trong nhiệt động lực học và lý thuyết thông tin. Ngay cả những máy tính cực nhanh vốn đã khiến cho logarit trở nên thừa đối với mục đích ban đầu của nó là tính nhanh, thì logarit vẫn còn là trung tâm đối với khoa học vì những lý do nhận thức chứ không phải tính toán.

Một ứng dụng khác của logarit đến từ những nghiên cứu về tri giác của con người: chúng ta cảm nhận thế giới xung quanh ta như thế nào. Những người tiên phong về vật lý tâm thần của tri giác đã thực hiện những nghiên cứu rất sâu rộng về thị giác, thính giác và xúc giác, và họ đã phát hiện ra một số quy tắc toán học khá hấp dẫn.

Vào những năm 1840, một bác sĩ người Đức tên là Ernst Weber đã thực hiện các thí nghiệm để xác định giác quan của con người nhạy cảm đến mức nào. Ông đưa cho các đối tượng thí nghiệm các vật nặng, bảo họ giữ trong tay rồi hỏi họ có nói được vật nào nặng hơn không. Weber sau đó đã có thể chỉ ra độ chênh lệch nhỏ nhất có thể còn phát hiện được là bao nhiêu. Có lẽ, đáng ngạc nhiên là sự sai khác này (với một đối tượng thí nghiệm cho trước) lại không phải là một lượng cố định. Nó phụ thuộc vào việc vật được đem ra so sánh nặng thế nào. Mọi người không nhận thấy một lượng khác biệt tuyệt đối tối thiểu - ví dụ, là 50 gam. Nhưng họ lại cảm nhận được một sự khác biệt tương đối tối thiểu là 1% của các khối lượng được đem ra so sánh. Tức là, lượng khác biệt nhỏ nhất mà tri giác con người có thể phát hiện ra tỉ lệ với sự kích thích, một đại lượng vật lý thực sự.

Vào những năm 1850, Gustav Fechner phát hiện lại chính định luật đó, nhưng viết lại nó dưới dạng toán học. Nó đưa ông đến một phương trình mà ông gọi là định luật Weber, nhưng ngày nay nó thường được gọi là định luật Fechner (hay Weber-Fechner nếu bạn theo chủ nghĩa thuần túy). Nó phát biểu rằng cảm giác lĩnh hội được tỉ lệ với logarit của sự kích thích. Các thí nghiệm gợi ý rằng định luật này không chỉ đúng cho trường hợp cảm giác của chúng ta với khối lượng mà cả với thị giác và thính giác nữa. Nếu ta nhìn một ngọn đèn, lượng ánh sáng mà chúng ta cảm nhận được biến thiên theo logarit của năng lượng thực tế phát ra. Nếu một nguồn sáng gấp mười nguồn kia, thì độ khác biệt mà ta cảm nhận được là hằng số, mặc cho hai nguồn thực sự sáng thế nào. Điều tương tự cũng xảy ra với độ lớn của âm thanh: một vụ nổ với mức năng lượng lớn gấp mười lần nghe cũng to hơn với một lượng cố định.

Định luật Weber-Fechner không hoàn toàn chính xác, nhưng nó là một phép gần đúng tốt. Quá trình tiến hóa, trong một mức độ nào đó, đã tạo ra một thứ giống như thang logarit, bởi vì thế giới bên ngoài trình hiện trước các giác quan của chúng ta những kích thích nằm trong một phạm vi rất rộng lớn các kích thước. Một tiếng ồn có thể nhỏ hơn một chút so với tiếng sột soạt của con chuột phá thủng hàng rào cây, hay một tiếng sét nổ; chúng ta cần phải có khả năng nghe được cả hai. Nhưng phạm vi của các mức độ âm thanh quá lớn đến nỗi không giác quan sinh học nào có thể phản ứng lại năng lượng sinh bởi những âm thanh ấy. Nếu một cái tai có thể nghe được tiếng con chuột, thì một tiếng sét nổ sẽ hủy hoại nó. Nếu mức độ âm thanh giảm xuống để tiếng sét nổ phát ra một âm thanh dễ chịu, thì lại không thể nghe được con chuột. Lời giải là nén các mức năng lượng lại thành một khoảng dễ chịu, và chính logarit đã làm việc này. Nhạy cảm theo tỉ lệ chứ không phải theo mức tuyệt đối đã tạo ra cảm giác tuyệt vời và tạo ra các giác quan tuyệt vời.

Đơn vị chuẩn của chúng ta cho tiếng ồn là dexiben (dB), nó gói gọn định luật Weber-Fechner trong một định nghĩa. Nó không đo tiếng ồn tuyệt đối, mà là tiếng ồn tương đối. Một con chuột trên bãi cỏ tạo tiếng ồn khoảng 10 dB. Cuộc trò chuyện thông thường giữa hai người cách nhau 1m gây ra tiếng ồn cỡ 40-60 dB. Người sử dụng máy trộn điện phải chịu tiếng ồn khoảng 60 dB. Tiếng ồn trong một chiếc xe hơi, do động cơ và lốp xe gây ra, là 60-80 dB. Một máy bay phản lực cách 100m gây ra âm thanh 110-140 dB, tăng thành 150 nếu cách 30m. Một kèn vuvuzela (một loại kèn nhựa gây khó chịu, giống kèn trumpet, được sử dụng rộng rãi ở World Cup 2010 và được các fan ít hiểu biết mang về nhà như quà lưu niệm) sinh ra âm thanh 120 dB ở khoảng cách 1m, một lựu đạn gây choáng của quân đội gây ra âm thanh tới 180 dB.

Những thang âm thanh đó vẫn thường được bắt gặp vì chúng có một khía cạnh an toàn nhất định. Mức độ mà âm thanh có thể gây hại cho thính giác là 120 dB. Hãy làm ơn vứt cái vuvuzela của bạn đi.