4 Hệ thống thế giới Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton

Phương trình này cho ta biết điều gì?

Nó xác định lực hấp dẫn giữa hai vật theo khối lượng và khoảng cách giữa chúng.

Tại sao nó lại quan trọng?

Nó có thể áp dụng cho một hệ bất kỳ các vật thể tương tác với nhau thông qua lực hấp dẫn, như là Hệ Mặt Trời. Nó cho chúng ta biết chuyển động của các hành tinh được xác định bởi một định luật toán học đơn giản.

Nó đã dẫn tới những gì?

Dự đoán chính xác hiện tượng thiên thực, quỹ đạo các hành tinh, sự trở lại của các sao chổi, sự quay của các thiên hà. Vệ tinh nhân tạo, lập bản đồ Trái Đất, kính thiên văn Hubble, quan sát các tai lửa của Mặt Trời. Các vệ tinh thăm dò liên hành tinh, viễn thông và truyền hình qua vệ tinh, hệ thống định vị toàn cầu (GPS).

Các định luật chuyển động của Newton nắm bắt được mối liên hệ giữa các lực tác dụng lên một vật và cách thức chuyển động của nó tương ứng với những lực ấy. Giải tích cung cấp những kỹ thuật toán học để giải các phương trình liên quan. Nhưng một yếu tố quan trọng cần có để áp dụng các định luật của Newton là xác định các lực. Khía cạnh tham vọng nhất trong Những nguyên lý của Newton là tìm ra các lực cụ thể tác dụng lẫn nhau giữa các thiên thể trong Hệ Mặt Trời gồm Mặt Trời, các hành tinh, Mặt Trăng và các sao chổi. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton đã tổng hợp, trong một công thức đơn giản, những quan sát và lý thuyết thiên văn được tích tụ trong hàng ngàn năm. Nó đã giải thích được nhiều đặc tính khó hiểu trong chuyển động của các hành tinh, và có thể tiên đoán các chuyển động tương lai của Hệ Mặt Trời với độ chính xác cao. Thuyết tương đối rộng của Einstein cuối cùng cũng đã thay thế cho lý thuyết hấp dẫn của Newton, trong chừng mực có liên quan tới vật lý cơ bản, nhưng đối với hầu hết các mục đích thực tiễn thì cách tiếp cận Newton đơn giản hơn do đó vẫn thịnh hành hơn. Ngày nay, các cơ quan hàng không vũ trụ trên thế giới như NASA và ESA vẫn sử dụng các định luật về chuyển động và hấp dẫn của Newton để tính toán những quỹ đạo hiệu quả nhất cho các con tàu vũ trụ.

Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, trên tất cả, phù hợp với nhan đề phụ của cuốn Những nguyên lý: Hệ thống của thế giới (The System ofthe World ). Định luật này chứng tỏ sức mạnh khổng lồ của toán học để tìm ra các hình mẫu ẩn giấu của tự nhiên và tiết lộ những điều đơn giản ẩn giấu đằng sau những phức tạp rối rắm của thế giới. Và theo thời gian, các nhà toán học và thiên văn học đặt những câu hỏi hóc búa hơn nhằm phát lộ những phức tạp ẩn giấu ngụ ý trong định luật đơn giản của Newton. Để đánh giá đúng những thành tựu của Newton, trước hết, chúng ta phải lần ngược lại thời gian, để xem các nền văn minh trước đã nhìn nhận các vì sao và các hành tinh như thế nào.

Con người đã bắt đầu hướng cái nhìn lên bầu trời đêm ngay từ buổi bình minh của lịch sử nhân loại. Ấn tượng ban đầu của họ có lẽ là những chấm sáng nằm tản mát ngẫu nhiên, nhưng họ đã nhanh chóng nhận thấy rằng ngang qua cái nền đó, quả cầu Mặt Trăng đã vạch ra một con đường đều đặn và trong quá trình đó nó thay đổi hình dạng của mình. Họ cũng đã thấy hầu hết các điểm sáng nhỏ xíu đó có vị trí tương đối ở trong những hình mẫu không thay đổi, mà ngày nay chúng ta gọi chúng là các chòm sao. Các ngôi sao đi ngang qua bầu trời đêm, nhưng dường như chúng di chuyển theo từng khối rắn đơn lẻ, cứ như là các chòm sao được vẽ bên trong một cái bát khổng lồ đang quay 1 . Tuy nhiên, một số ngôi sao xử sự khá khác biệt: chúng như đi lang thang quanh bầu trời. Quỹ đạo của chúng khá phức tạp và đôi khi quay trở lại điểm cũ. Đó là các hành tinh ( planet ), một từ mượn từ tiếng Hy Lạp có nghĩa là “kẻ lang thang”. Người cổ đại đã nhận biết được năm trong số chúng, mà bây giờ được gọi là Thủy tinh, Kim tinh, Hỏa tinh, Mộc tinh, Thổ tinh. Chúng chuyển động đối với các ngôi sao cố định với những vận tốc khác nhau, mà chậm nhất là Thổ tinh.

Một hiện tượng thiên văn khác còn gây hoang mang hơn nhiều. Thỉnh thoảng lại có một sao chổi xuất hiện, chẳng biết là từ đâu tới, kéo theo một cái đuôi cong và dài. Những “ngôi sao sa” này có lẽ đã rơi xuống từ thiên đường, cứ như là chúng bị tách ra khỏi cái bát đã đỡ chúng vậy. Không có gì ngạc nhiên rằng con người thời sơ khai ấy đã gắn những bất thường trên bầu trời với tính thất thường của các nhân vật siêu nhiên.

Những điều bình thường có quy luật được tổng hợp lại có vẻ hiển nhiên tới mức ít ai dám mơ tới chuyện bàn cãi về chúng. Mặt Trời, các vì sao và các hành tinh quay xung quanh Trái Đất. Chúng trông như thế và chúng ta cũng cảm thấy rằng nó phải như thế. Đối với người cổ đại, vũ trụ là địa tâm - tức Trái Đất là trung tâm. Chỉ có một tiếng nói đơn độc cất lên tranh luận về điều hiển nhiên ấy, đó là Aristarchus ở Samos. Sử dụng các nguyên lý hình học và quan sát, Aristarchus đã tính được kích thước của Trái Đất, Mặt Trời và Mặt Trăng. Khoảng năm 270 TCN , ông đã đề xuất thuyết nhật tâm đầu tiên: Trái Đất và các hành tinh khác quay xung quanh Mặt Trời. Lý thuyết của ông nhanh chóng bị tẩy chay và chỉ được phục hồi lại gần 2000 năm sau.

Vào thời Ptolemy, một người La Mã sống ở Ai Cập khoảng năm 120 SCN, các hành tinh đã bị chế ngự. Chuyển động của chúng không còn lang thang thất thường nữa mà đã có thể tiên đoán được. Cuốn Luận thuyết vĩ đại (Almagest ) của Ptolemy đã đề xuất rằng chúng ta sống trong một vũ trụ địa tâm, ở đó tất cả mọi thứ thực sự quay xung quanh loài người theo những tổ hợp phức tạp của các vòng tròn gọi là ngoại luân, có giá đỡ là những tinh cầu khổng lồ. Học thuyết của ông là sai, nhưng những chuyển động mà nó tiên đoán được tương đối chính xác vì các sai số vẫn còn chưa được phát hiện nhiều thế kỷ sau đó. Hệ thống Ptolemy còn có thêm sự hấp dẫn về triết học: nó biểu diễn vũ trụ bằng các hình hình học hoàn hảo - đó là hình cầu và đường tròn. Nghĩa là nó vẫn tiếp nối truyền thống Pythagor. Ở châu Âu, học thuyết Ptolemy đứng vững tới 1400 năm.

Trong khi châu Âu lãng phí thời gian, thì những tiến bộ khoa học mới đã xuất hiện ở những nơi khác, đặc biệt là ở Ả Rập, Trung Quốc và Ấn Độ. Năm 499, nhà thiên văn Ấn Độ Aryabhata đã đề xuất một mô hình toán học cho Hệ Mặt Trời trong đó Trái Đất quay xung quanh trục của nó và chu kỳ quỹ đạo của các hành tinh được xác định đối với vị trí của Mặt Trời. Trong thế giới Hồi giáo, Alhazen viết một bài phê phán gay gắt học thuyết Ptolemy, mặc dù lời phê phán ấy không tập trung vào bản chất địa tâm của nó. Vào khoảng năm 1000, Abu Rayhan Biruni đã xem xét một cách nghiêm túc khả năng Hệ Mặt Trời là nhật tâm, với Trái Đất quay xung quanh trục của nó, nhưng cuối cùng cũng phải đầu hàng học thuyết chính thống ở thời gian đó, coi Trái Đất là đứng yên. Khoảng năm 1300, Najm al-Din al-Qazwini al-Katibi đã đề xuất lý thuyết nhật tâm nhưng chẳng bao lâu ông đã thay đổi suy nghĩ của mình.

Bước đột phá lớn đến cùng với công trình của Nicolaus Copernicus, công bố năm 1543 với tựa đề Về chuyển động quay của các thiên cầu (DeRevolutionibus Orbium Coelestium ). Có bằng chứng, mà chủ yếu là việc dùng hầu hết các hình vẽ giống hệt nhau được ghi chú bằng cùng các chữ cái, để thấy rằng Copernicus, chí ít cũng đã chịu ảnh hưởng của al-Katibi, nhưng ông đã tiến xa hơn nhiều. Ông đã đưa ra một hệ nhật tâm hết sức tường minh, và chỉ rõ rằng nó phù hợp với các quan sát hơn và cũng tiết kiệm hơn so với hệ thống địa tâm của Ptolemy, và cũng gợi mở nhiều ẩn ý triết học hơn. Đỉnh cao trong đó là tư tưởng mới lạ cho rằng con người không phải là trung tâm của vạn vật. Nhà thờ Cơ Đốc giáo nhìn nhận quan điểm này đi ngược với học thuyết của họ và làm hết sức mình để ngăn chặn nó. Học thuyết nhật tâm tường minh là dị giáo.

Tuy nhiên, nó vẫn chiếm ưu thế, vì các bằng chứng quá mạnh mẽ. Các học thuyết nhật tâm mới và tốt hơn đã xuất hiện. Sau đó tất cả các thiên cầu đã bị vứt bỏ hết, để chào đón một dạng khác trong hình học cổ điển: đó là hình ellip. Ellip có dạng ô-van, và những bằng chứng gián tiếp cho thấy rằng chúng đã được Menaechmus nghiên cứu đầu tiên trong hình học Hy Lạp vào khoảng năm 350 TCN , cùng với hyperbol và parabol, như là tiết diện của hình nón (còn gọi là các tiết diện conic), hình 13. Euclid được cho là đã viết bốn cuốn sách về các tiết diện conic, mặc dù không quyển nào còn tồn tại đến ngày nay, và Archimedes cũng đã nghiên cứu tỉ mỉ một số tính chất của chúng. Nghiên cứu của người Hy Lạp về chủ đề này đạt tới đỉnh cao vào khoảng năm 240 TCN với tám cuốn trong bộ Các tiết diện conic (Conic Sections ) của Apollonius ở Perga, người đã tìm ra một cách định nghĩa các đường cong này thuần túy trên một mặt phẳng, bỏ qua chiều không gian thứ ba. Tuy nhiên, quan điểm của trường phái Pythagor vẫn còn tồn tại dai dẳng cho rằng các đường tròn và các mặt cầu đạt tới độ hoàn hảo cao hơn các ellip và các đường cong phức tạp hơn.

Hình 13 Các tiết diện conic.

Các ellip gắn chặt vai trò của chúng vào thiên vãn vào khoảng năm 1600, với công trình của Kepler. Từ thuở thiếu thời, ông đã bắt đầu quan tâm tới thiên văn học, năm 1577, khi mới sáu tuổi, ông đã được chứng kiến một sao chổi lớn xuất hiện 2 , và ba năm sau ông đã được trực tiếp nhìn thấy nguyệt thực. Ở trường đại học Tũbingen, Kepler đã chứng tỏ khả năng toán học tuyệt vời và đã dùng nó vào mục đích sinh lợi là đoán tử vi. Ở thời ấy, toán học, thiên văn học và chiêm tinh học thường đi cùng với nhau. Ông đã kết hợp mức độ cuồng say của chủ nghĩa thần bí với sự chú ý tỉnh táo tới chi tiết toán học. Một ví dụ điển hình là cuốn sách Bí ẩn vũ trụ (Mysterium Cosmographicum ) của ông xuất bản năm 1596, trong đó ông đã nhiệt thành bảo vệ cho hệ nhật tâm. Nó kết hợp sự thấu hiểu học thuyết Copernicus với cái mà dưới con mắt hiện đại là một sự tư biện rất lạ lùng liên hệ khoảng cách giữa các hành tinh đã biết đến Mặt Trời với các khối đa diện đều. Trong một thời gian dài, Kepler đã coi khám phá này như là một trong những khám phá vĩ đại nhất của ông, vì nó đã hé lộ bản thiết kế vũ trụ của Đấng Sáng thế. Ông coi những nghiên cứu sau này của mình, bây giờ chúng ta coi là quan trọng hơn rất nhiều, đơn giản chỉ là những thực hiện chi tiết của bản thiết kế đó. Vào thời đó, một lợi thế của lý thuyết này là nó giải thích được tại sao lại có chính xác sáu hành tinh (từ Thủy tinh đến Thổ tinh). Ở giữa sáu quỹ đạo là năm khoảng trống, mỗi khoảng trống ứng với một khối đa diện đều. với việc khám phá ra Thiên vương tinh, và sau này là Hải vương tinh và Diêm vương tinh (trước khi nó bị hạ cấp xuống mức dưới hành tinh) đặc điểm này nhanh chóng trở thành một sai lầm chết người.

Đóng góp lâu dài của Kepler bắt nguồn từ việc ông làm công cho Tycho Brahe. Hai người gặp nhau lần đầu năm 1600. Sau hai tháng lưu lại và một cuộc tranh luận sôi nổi, Kepler thương lượng một mức lương chấp nhận được. Sau một cuộc cãi cọ về những vấn đề xảy ra ở thành phố Graz quê hương ông, Kepler chuyển về Prague, giúp Tycho phân tích các quan sát thiên văn của ông, đặc biệt là về Hỏa tinh. Khi Tycho mất đột ngột vào năm 1601, Kepler đã thay thế vị trí của ông chủ với cương vị là nhà toán học trong cung đình của Rudolph II. Vai trò chính của ông là đoán số tử vi cho hoàng gia, nhưng ông vẫn có thời gian để tiếp tục những phân tích của mình về quỹ đạo của Hỏa tinh. Dựa trên các nguyên lý ngoại luân truyền thống, ông đã cải tiến mô hình của mình tới mức mà các sai số của nó, khi so với quan sát, thường chỉ là hai phút góc, một sai số điển hình trong các quan sát. Tuy nhiên, ông không dừng lại ở đó vì đôi khi sai số lớn hơn, tới tám phút góc.

Cuộc tìm kiếm của ông cuối cùng đã dẫn tới hai định luật về chuyển động của các hành tinh, được công bố trong cuốn Một nền thiên văn học mới (Astronomia Nova ). Trong rất nhiều năm, ông đã cố gắng gò cho quỹ đạo của Hỏa tinh khóp với một ovoid - một đường cong hình quả trứng với một đầu nhọn hơn đầu kia - mà không thành công. Có lẽ ông chờ đợi quỹ đạo cong hơn khi ở gần Mặt Trời hơn. Năm 1605, Kepler chợt nảy ra ý nghĩ thử một hình ellip, cong đều ở hai đầu, và ông thực sự ngạc nhiên là nó phù hợp hơn rất nhiều. Ông đi tới kết luận rằng quỹ đạo của tất cả các hành tinh đều là đường ellip, đó là định luật thứ nhất của ông. Định luật thứ hai mô tả cách chuyển động của các hành tinh theo quỹ đạo của chúng, nó phát biểu rằng các hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Cuốn sách đã ra đời vào năm 1609. Sau đó Kepler đã nỗ lực rất nhiều để chuẩn bị các bảng biểu thiên văn, nhưng rồi ông đã quay trở lại với các quy luật của quỹ đạo các hành tinh vào năm 1619 trong cuốn Sự hài hòa của thếgiới (Harmonices Mundi ). Cuốn sách này có một vài ý tưởng mà ngày nay ta thấy hơi lạ, chẳng hạn như các hành tinh phát ra các nhạc âm khi chúng quay quanh Mặt Trời. Nhưng nó cũng chứa định luật thứ ba của ông: bình phương chu kỳ quay của các hành tinh tỉ lệ thuận với lập phương khoảng cách của chúng tới Mặt Trời.

Ba định luật của Kepler hầu như đã bị chôn vùi giữa cả đống rối rắm của chủ nghĩa thần bí, chủ nghĩa tượng trưng tôn giáo và tư biện triết học. Nhưng chúng đã thể hiện một bước nhảy khổng lồ về phía trước, dẫn Newton tới một trong những khám phá khoa học vĩ đại nhất mọi thời đại.

Newton đã rút ra định luật về hấp dẫn của mình từ ba định luật về chuyển động hành tinh của Kepler. Nó phát biểu rằng mọi hạt trong vũ trụ hút tất cả các hạt khác bằng một lực tỉ lệ với tích khối lượng của hai hạt và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Nó được viết dưới dạng ký hiệu:

Ở đây F là lực hấp dẫn, d là khoảng cách, m 1 , m 2 là khối lượng hai hạt và G là một số cố định, được gọi là hằng số hấp dẫn 3 .

Ai đã khám phá ra định luật hấp dẫn của Newton? Điều này nghe có vẻ như là một trong những câu hỏi tu từ, tựa như: “Tượng của ai đứng ở đỉnh cột Nelson?”. Nhưng câu trả lời hợp lý là người quản lý các thí nghiệm của Hội Hoàng gia Anh, Robert Hooke. Khi Newton công bố định luật này vào năm 1687 trong cuốn Những nguyên lý , Hooke đã buộc tội ông đạo văn. Tuy nhiên, Newton cung cấp tư liệu về quá trình rút ra lần đầu tiên bằng toán học các quỹ đạo ellip từ định luật này, điều có tầm quan trọng sống còn để xác lập tính đúng đắn của nó, và Hooke đã chấp nhận. Hơn nữa, Newton cũng đã trích dẫn Hooke, cùng với vài người nữa trong cuốn sách đó. Có thể đoán chừng rằng Hooke cảm thấy ông phải xứng đáng được tính công lao nhiều hơn; trước đó, đôi lần ông cũng đã phải chịu những vấn đề tương tự, nên đây là một điểm dễ chạnh lòng.

Ý tưởng rằng các vật hút lẫn nhau đã được bàn luận đâu đó một thời gian, và vì vậy nó gần như đã có biểu thức toán học. Năm 1645, nhà thiên văn học người Pháp Ismaêl Boulliau (Bullialdus) đã viết cuốn Thiên văn học của Philolaus ( Astronomia Philolaica - Philolaus là nhà triết học Hy Lạp, người đã nghĩ rằng một ngọn lửa là trung tâm của vũ trụ chứ không phải Trái Đất). Trong đó ông viết:

Còn về sức mạnh (lực) mà nhờ nó Mặt Trời nắm bắt hoặc giữ các hành tinh [...], nó được phát ra theo đường thẳng xuyên suốt phạm vi của thế giới [...], giờ đây khi thấy rằng nó cũng là vật chất, nó yếu đi và suy giảm ở một khoảng cách, và tỉ số độ giảm cường độ của nó cũng giống như đối với ánh sáng, mà cụ thể là theo tỉ lệ bình phương nhưng là nghịch đảo, của khoảng cách.

Đây là sự phụ thuộc “nghịch đảo bình phương” của lực theo khoảng cách. Có nhiều nguyên nhân đơn giản, mặc dù khá ngây thơ, để chờ đợi có một công thức như thế, bởi vì diện tích bề mặt của một hình cầu biến thiên theo bình phương bán kính của nó. Nếu cùng một lượng “vật chất” hấp dẫn lan tỏa qua các mặt cầu có bán kính ngày càng tăng như khi nó xuất phát từ Mặt Trời, thì lượng nhận được ở bất kỳ điểm nào phải biến thiên tỉ lệ nghịch với diện tích bề mặt. Điều này xảy ra giống hệt với ánh sáng, và Boulliau đã giả thiết, mà không có nhiều bằng chứng, rằng lực hấp dẫn cũng phải tương tự như vậy. Ông cũng nghĩ rằng các hành tinh chuyển động dọc theo quỹ đạo của nó bằng năng lượng của chính nó, do đó ông nói rằng, “Không có dạng chuyển động nào ép lên các hành tinh còn lại, chúng tự dẫn động bằng các dạng riêng mà chúng được cung cấp”.

Đóng góp của Hooke ghi dấu vào năm 1666, khi ông trình bày một báo cáo trước Hội Hoàng gia, với nhan đề Về lực hấp dẫn (On gravity ). Ở đó ông đã liệt kê ra các sai lầm của Boulliau, khi lập luận rằng lực hấp dẫn từ Mặt Trời có thể cản trở xu thế chuyển động tự nhiên theo đường thẳng của hành tinh (như đã được chỉ ra trong định luật thứ ba về chuyển động của Newton), và bắt nó phải đi theo đường cong. Ông cũng khẳng định rằng các lực hút này sẽ càng mạnh nếu các vật được mang đến càng gần tâm của nhau, điều đó chứng tỏ ông cũng đã nghĩ tới khả năng lực giảm theo khoảng cách.

Nhưng ông đã không nói với ai về dạng toán học của sự suy giảm đó, cho tới tận năm 1679, khi ông viết cho Newton: “Lực hấp dẫn luôn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách tính từ tâm”. Trong cùng lá thư ấy, ông nói rằng điều này dẫn tới vận tốc của một hành tinh biến thiên theo nghịch đảo của khoảng cách từ nó tới Mặt Trời. Nhưng điều này không đúng.

Khi Hooke phàn nàn rằng Newton đánh cắp định luật của ông, Newton đã phủ nhận điều đó, và chỉ ra rằng ông đã thảo luận về ý tưởng này với Christopher Wren trước khi Hooke gửi thư cho ông. Để chứng minh quyền sở hữu phát minh, Newton đã trích dẫn Boulliau, và cả Giovanni Borelli, một nhà sinh lý học và vật lý toán người Ý nữa. Borelli đã đề xuất rằng có ba lực tổng hợp để tạo ra chuyển động của một hành tinh: một lực hướng vào sinh ra bởi mong muốn của hành tinh được tiến gần tới Mặt Trời, một lực ngang sinh bởi ánh sáng Mặt Trời, và một ngoại lực hướng ra ngoài sinh bởi sự quay của Mặt Trời.

Quan điểm chính của Newton có tính quyết định, đó là cho dù Hooke đã làm được gì đi nữa, thì ông ta cũng không phải là người đã rút ra được dạng quỹ đạo chính xác từ định luật hấp dẫn nghịch đảo bình phương. Còn Newton thì đã làm được. Thực tế, ông đã suy ra được cả ba định luật của Kepler về chuyển động của các hành tinh: quỹ đạo ellip, hành tinh chuyển động quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau, và bình phương của chu kỳ tỉ lệ thuận với lập phương của khoảng cách. “Không có những Chứng minh của tôi”, Newton khẳng định, “thì một nhà triết học sáng suốt và thận trọng không thể tin rằng định luật nghịch đảo bình phương là đúng đắn ở khắp nơi”. Nhưng

ông cũng thừa nhận rằng “Mr. Hooke hoàn toàn không biết tới” chứng minh này. Một điểm then chốt trong lập luận của Newton là định luật của ông áp dụng được không chỉ cho chất điểm, mà cho cả khối cầu. Sự mở rộng này cực kỳ quan trọng đối với chuyển động của các hành tinh, và đã khiến Newton phải nỗ lực rất nhiều. Chứng minh hình học của ông là một ứng dụng trá hình của phép tính tích phân, và ông đã tự hào về nó một cách chính đáng. Cũng có cả các bằng chứng tài liệu cho biết rằng Newton đã nghĩ về những vấn đề như vậy trong một thời gian khá lâu.

Dẫu thế nào, chúng ta cũng đã đặt tên cho định luật đó là định luật Newton, và nó thực sự xứng đáng với đóng góp quan trọng của ông.

Khía cạnh quan trọng nhất trong định luật hấp dẫn của Newton không phải là luật nghịch đảo bình phương, mà là nó khẳng định rằng lực hấp dẫn có tác dụng phổ quát. Bất kỳ hai vật thể nào, ở bất kỳ đâu trong vũ trụ cũng đều hấp dẫn lẫn nhau. Dĩ nhiên bạn cần một định luật chính xác về lực (nghịch đảo bình phương) để thu được kết quả chính xác, nhưng nếu thiếu tính phổ quát, bạn không thể biết làm thế nào để có thể viết ra các phương trình cho một hệ bất kỳ có nhiều hơn hai vật. Hầu như những hệ thú vị, như Hệ Mặt Trời, hay cấu trúc tinh tế của chuyển động Mặt Trăng đều chịu ảnh hưởng của (chí ít) Trái Đất và Mặt Trời, liên quan tới nhiều hơn hai vật, do vậy định luật của Newton có lẽ sẽ gần như vô dụng nếu nó chỉ áp dụng được cho bối cảnh mà ban đầu ông suy ra nó.

Điều gì đã là động lực để phát hiện tính phổ quát này? Trong cuốn Những hồi ức về cuộc đời của Sir Isaac Newton (Memoirs of Sir Isaac Newton’s Life ) in năm 1752 của mình, William Stukeley đã thuật lại một câu chuyện mà Newton kể cho ông vào năm 1726:

Ý niệm về hấp dẫn. đã khởi sinh từ sự rơi của quả táo, khi ông đang ngồi trong trạng thái chiêm nghiệm. Ông đã nghĩ tại sao trái táo lại rơi thẳng xuống mặt đất. Tại sao nó không đi ngang hoặc đi lên trên, mà lại luôn rơi hướng tới tâm Trái Đất? Chắc chắn nguyên nhân là do Trái Đất kéo nó xuống. Phải có một lực hút trong vật chất. Và tổng của các lực hút trong vật chất của Trái Đất phải nằm ở tâm của Trái Đất, chứ không phải ở phía nào của nó. Do vậy nên quả táo mới rơi vuông góc hay hướng thẳng tới tâm của Trái Đất? Nếu vật chất hút vật chất; nó phải tỉ lệ với lượng vật chất đó. Bởi vậy quả táo cũng hút Trái Đất như Trái Đất hút quả táo vậy.

Câu chuyện trên là sự thật hay chỉ là sự hư cấu tiện lợi mà Newton bịa ra sau này để giúp ông giải thích các ý tưởng của mình, hiện còn chưa rõ, nhưng thôi thì ta cứ chấp nhận như vậy bởi vì ý tưởng không dừng lại ở những quả táo. Quả táo quan trọng với Newton bởi vì nó giúp ông nhận ra rằng cùng một định luật về lực có thể giải thích được cả chuyển động của quả táo lẫn chuyển động của Mặt Trăng. Điểm khác biệt duy nhất chỉ là Mặt Trăng còn có chuyển động ngang nữa, điều này giải thích tại sao nó cứ đứng đó mà không chịu rơi. Thực tế thì nó vẫn luôn luôn rơi về phía Trái Đất, nhưng chuyển động ngang khiến cho bề mặt Trái Đất cũng rơi ra xa. Newton, chính là Newton, không chỉ dừng lại với lập luận định tính này. Ông đã tiến hành tính toán, rồi so sánh kết quả với quan sát, và hài lòng rằng ý tưởng của ông là chính xác.

Nếu lực hấp dẫn tác dụng lên quả táo, Mặt Trăng và Trái Đất, như là một đặc tính cố hữu của vật chất, thì có lẽ nó cũng tác dụng lên vạn vật.

Không thể kiểm chứng tính phổ quát của lực hấp dẫn một cách trực tiếp, vì bạn phải nghiên cứu tất cả các cặp vật trong toàn vũ trụ, và tìm cách loại bỏ ảnh hưởng của tất cả các vật khác. Nhưng đây không phải là cách làm việc khoa học. Thay vì thế, khoa học sử dụng hỗn hợp của suy luận và quan sát. Tính phổ quát là một giả thuyết, nó có thể trở thành ngụy tạo mỗi khi được áp dụng. Nhưng mỗi lần nó vượt qua được điều đó, người ta nói rằng nó cho kết quả tốt, và sự biện minh cho việc sử dụng nó lại trở nên mạnh hơn một chút. Nếu (như trong trường hợp này) nó vẫn đứng vững sau hàng ngàn những kiểm chứng như thế, thì sự biện minh sẽ thực sự trở nên rất mạnh mẽ. Tuy nhiên, giả thuyết này không bao giờ chứng minh được là đúng : bởi vì, như tất cả chúng ta đều biết, thí nghiệm tiếp sau rất có thể cho những kết quả không tương thích. Có thể ở đâu đó trong một thiên hà, xa, rất xa, có một hạt vật chất, một nguyên tử chẳng hạn, không bị hút bởi tất cả những vật khác. Nếu đúng như thế thì chúng ta cũng không bao giờ tìm thấy nó; và nó cũng sẽ không ảnh hưởng gì đến những tính toán của chúng ta. Định luật nghịch đảo bình phương tự thân nó đã là cực kỳ khó để có thể kiểm tra trực tiếp, tức là đo đạc trực tiếp lực hấp dẫn. Thay vì vậy, chúng ta áp dụng định luật này cho các hệ mà chúng ta có thể đo đạc được bằng cách sử dụng nó để tiên đoán các quỹ đạo, và sau đó kiểm tra xem tiên đoán ấy có phù hợp với quan sát hay không.

Ngay cả khi được công nhận là phổ quát thì vẫn chưa đủ để có thể viết ra một định luật chính xác về hấp dẫn. Nó chỉ đưa ra một phương trình mô tả chuyển động. Để tìm ra chuyển động ấy, bạn còn phải giải phương trình đó. Ngay cả với hai vật thôi, điều đó cũng không phải là dễ dàng, và nên nhớ rằng Newton đã biết trước câu trả lòi được mong đợi, nhưng việc ông suy ra quỹ đạo ellip đã là chuyện thần kỳ rồi. Nó giải thích vì sao mà ba định luật của Kepler đã mô tả rất chính xác mỗi quỹ đạo của các hành tinh. Nó cũng giải thích tại sao mô tả này lại không chính xác: các vật thể khác trong Hệ Mặt Trời, trừ Mặt Trời và chính hành tinh đó đều có ảnh hưởng tới chuyển động. Để tính tới hết những nhiễu loạn này, bạn phải giải các phương trình chuyển động cho ba hay nhiều hơn ba vật. Đặc biệt, nếu bạn muốn dự đoán chuyển động của Mặt Trăng với độ chính xác cao, bạn phải tính tới cả Mặt Trời và Trái Đất trong các phương trình của mình. Ảnh hưởng của các hành tinh khác, đặc biệt là Mộc tinh, cũng không phải là không đáng kể, nhưng nó chỉ bộc lộ sau những thời gian dài mà thôi. Được khích lệ từ thành công của Newton về chuyển động của hai vật dưới tác dụng của lực hấp dẫn, các nhà toán học và vật lý đã hăm hở chuyển sang trường hợp kế tiếp: ba vật. Nhưng sự lạc quan ban đầu của họ nhanh chóng tiêu tan: trường hợp ba vật hóa ra lại rất khác với trường hợp hai vật. Thực tế, nó thách thức những ai muốn giải nó.

Thường thì có thể dùng các phép gần đúng tốt để tính toán chuyển động (thông thường cách này chỉ giải được các bài toán mang tính thực tiễn), nhưng đó không phải là một công thức chính xác. Thậm chí bài toán đã được đơn giản hóa, như bài toán ba vật hạn chế cũng đã làm chúng ta điêu đứng. Giả sử rằng một hành tinh quay quanh một ngôi sao theo quỹ đạo tròn hoàn hảo: một hạt bụi với khối lượng không đáng kể sẽ chuyển động thế nào?

Tính toán các quỹ đạo gần đúng cho ba vật hay nhiều hơn, bằng tay, chỉ sử dụng bút chì và giấy, có thể khả thi nhưng rất gian khổ. Các nhà toán học đã nghĩ ra vô số các mẹo mực và cách làm tắt, dẫn tới một sự hiểu biết hợp lý về một số hiện tượng thiên văn. Mãi tới cuối thế kỷ 19, độ phức tạp thực sự của bài toán ba vật mới trở nên rõ ràng khi Henri Poincaré nhận ra rằng hình học liên quan là cực kỳ phức tạp. Và cũng mãi tới cuối thế kỷ 20, sự ra đòi của các máy tính mạnh mới giảm thiểu đáng kể công tính toán bằng tay, cho phép tiên đoán dài hạn một cách chính xác chuyển động của Hệ Mặt Trời.

Bước đột phá của Poincaré - nếu có thể gọi như thế, bởi vì ở thòi kỳ đó ai cũng biết rằng bài toán này là vô vọng, và việc tìm kiếm lời giải của nó là vô nghĩa - đã xuất hiện do ông đã tham gia tranh một giải thưởng toán học. Oscar II, vua Thụy Điển và Na Uy, thông báo tổ chức một cuộc thi để mừng sinh nhật thứ 60 của ông vào năm 1889. Theo lòi khuyên của nhà toán học Gỏsta Mittag-Leffler, nhà vua đã chọn bài toán tổng quát về nhiều vật chuyển động dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Newton. Vì ai cũng hiểu rõ rằng một công thức tường minh giống như hình ellip của hai vật là một mục đích phi thực tế, nên yêu cầu đã được giảm nhẹ: giải thưởng sẽ được trao cho một phương pháp gần đúng dưới một dạng rất cụ thể. Nói một cách cụ thể, chuyển động phải được xác định như một chuỗi vô hạn, đưa ra được những kết quả chính xác như ta mong muốn, nếu tính đủ các số hạng cần thiết của chuỗi.

Poincaré đã không trả lời câu hỏi đó. Thực tế, luận văn của ông về chủ đề này, được công bố năm 1890, đã đưa ra bằng chứng rằng không thể có câu trả lời dạng như thế, ngay cả với bài toán ba vật đơn giản gồm ngôi sao, hành tinh và hạt bụi.

Bằng cách suy nghĩ về hình học của những lòi giải giả thuyết, Poincaré khám phá ra rằng trong một vài trường hợp, quỹ đạo của hạt bụi phải cực kỳ phức tạp và rối rắm. Khi đó, ông đã rất sốc và khẳng định một cách rất bi quan rằng “Khi ta cố gắng vẽ ra hình tạo bởi hai đường cong ấy với vô số giao điểm của chúng, mỗi điểm trong chúng đều tương ứng với nghiệm tiệm cận kép, những giao điểm đó tạo nên một kiểu lưói, mạng, hay mạng lưói vô cùng dày đặc... Người ta sẽ choáng váng trước sự phức tạp của hình đó đến nỗi mà ngay cả tôi cũng không có ý định vẽ nó ra”.

Ngày nay chúng ta coi công trình của Poincaré như một đột phá và không để ý tới sự bi quan của ông, bởi vì sự phức tạp của hình học đã khiến ông tuyệt vọng đối với việc giải bài toán đó, nhưng nó sẽ thực sự cung cấp cho chúng ta những nhận thức sâu sắc nếu được phát triển và thấu hiểu một cách thích đáng. Hình học phức tạp của những hệ động lực có liên quan hóa ra lại là những ví dụ sóm nhất về hỗn độn: trong các phương trình không ngẫu nhiên, sự xuất hiện các nghiệm phức tạp tới mức ở một vài khía cạnh nào đó chúng có vẻ như là ngẫu nhiên, hãy xem chương 16.

Có một số điều trớ trêu trong câu chuyện này. Nhà lịch sử toán học June Barrow-Green đã khám phá ra rằng phiên bản được công bố của luận văn tranh giải của Poincaré lại không phải là chính công trình đoạt giải 4 . Phiên bản trước đó có một sai sót nghiêm trọng là đã bỏ sót những nghiệm hỗn độn. Công trình đang ở giai đoạn in thử thì Poincaré bối rối nhận ra sai lầm của mình, và ông đã chi tiền cho bản in mới đã được sửa chữa. Hầu hết các bản copy của bản thảo gốc đã bị hủy, nhưng vẫn còn lại một bản được cất kín ở văn khố của Viện Mittag-Leffler ở Thụy Điển, nơi Barrow-Green đã tìm ra nó.

Thực tế, hóa ra sự hiện diện của hỗn độn cũng không loại bỏ các nghiệm ở dạng chuỗi, những nghiệm này hầu như là luôn hợp thức, chứ không phải luôn luôn hợp thức. Karl Fifthiof Sundman, một nhà toán học Phần Lan, đã khám phá ra điều này vào năm 1912 đối với bài toán ba vật, khi dùng chuỗi tạo thành từ các lũy thừa căn bậc ba của thời gian. Chuỗi này hội tụ - nghĩa là có tổng hữu hạn - trừ phi trạng thái ban đầu có momen động lượng bằng 0, nhưng những trạng thái như thế vô cùng hiếm hoi, theo nghĩa, một sự lựa chọn ngẫu nhiên momen động lượng thì nó hầu như luôn là khác 0. Năm 1991, nhà toán học Trung Quốc Qiudong Wang đã mở rộng kết quả này cho bài toán nhiều vật, nhưng ông đã không phân loại các trường hợp ngoại lệ hiếm hoi khi chuỗi không hội tụ. Một sự phân loại như vậy chắc hẳn rất phức tạp: nó phải bao gồm các nghiệm mà ở đó các vật di chuyển vô hạn trong thời gian hữu hạn, hay dao động ngày càng nhanh, cả hai dạng nghiệm đó đều có thể xảy ra cho trường hợp năm vật hoặc nhiều hơn.

Định luật hấp dẫn của Newton thường được áp dụng để thiết kế các quỹ đạo cho các chuyến bay không gian. Ở đây thậm chí bản thân động lực học hai vật cũng rất hữu dụng. Trong những ngày đầu, việc khám phá Hệ Mặt Trời chủ yếu sử dụng các quỹ đạo hai vật, các đoạn ellip, bằng các động cơ, phi thuyền có thể chuyển từ một ellip này sang một ellip khác. Nhưng vì mục đích của các chương trình không gian ngày càng trở nên tham vọng hơn nên cần có các phương pháp hiệu quả hơn. Các phương pháp này đến từ động lực học nhiều vật, mà thường là ba vật, nhưng đôi khi tới năm vật. Các phương pháp mới về hỗn độn và động lực học topo đã trở thành cơ sở cho những giải pháp thực tiễn của các vấn đề kỹ thuật.

Hình 14 Ellip chuyển Hohmann từ quỹ đạo thấp ở Trái Đất tới quỹ đạo quanh Mặt Trăng.

Tất cả bắt đầu từ một câu hỏi đơn giản: Đâu là quỹ đạo hiệu quả nhất từ Trái Đất lên Mặt Trăng hay tới các hành tinh khác? Câu trả lời kinh điển, được biết đến dưới cái tên ellip chuyển Hohmann (hình 14), bắt đầu từ một quỹ đạo tròn quanh Trái Đất, và sau đó theo một phần của ellip dài và mảnh để nhập vào một quỹ đạo tròn thứ hai xung quanh điểm đến. Phương pháp này được sử dụng cho các con tàu Apollo trong những năm 60, 70, nhưng đối với những nhiệm vụ loại khác nó lại có một bất lợi. Tàu vũ trụ phải tăng tốc để thoát ra khỏi quỹ đạo quanh Trái Đất rồi giảm tốc để đi vào quỹ đạo quanh Mặt Trăng; điều đó đã làm lãng phí nhiên liệu. Có những cách khác bao gồm nhiều vòng lặp quanh Trái Đất, rồi chuyển tiếp qua một điểm ở giữa Trái Đất và Mặt Trăng nơi mà trường hấp dẫn của chúng triệt tiêu lẫn nhau, rồi thực hiện nhiều vòng lặp xung quanh Mặt Trăng. Nhưng các quỹ

Đạo như thế mất nhiều thời gian hơn các ellip Hohmann nên đã không được sử dụng cho các chuyến bay có người lái của Apollo, vì ở đó thức ăn và oxy, do đó cả thời gian nữa, là điều cốt yếu. Tuy nhiên, đối với các chuyến bay không người lái, thời gian tương đối không quan trọng, trong khi những thứ đưa thêm vào tổng trọng lượng của tàu vũ trụ, bao gồm cả nhiên liệu, lại rất tốn kém.

Bằng cái nhìn tươi mới về định luật hấp dẫn của Newton và định luật thứ hai về chuyển động của ông, các nhà toán học và các kỹ sư vũ trụ gần đây đã khám phá ra một cách tiếp cận mới, đáng chú ý để tiết kiệm nhiên liệu trong việc du hành giữa các hành tinh.

Đi theo đường ống.

Đó là ý tưởng bước thẳng ra từ khoa học viễn tưởng. Trong tác phẩm Ngôi sao của Pandora (Pandora’s Star ) của Peter Hamilton xuất bản năm 2004, ông đã vẽ ra một tương lai trong đó con người du hành tới các hành tinh quay quanh những vì sao xa xôi bằng đường sắt xuyên qua các lỗ sâu đục, một đường tắt qua không-thời gian. Trong bộ sách nhiều tập Lensman xuất bản từ năm 1934 tới 1948, Edward Elmer “Doc” Smith đã nghĩ ra một ống siêu không gian mà những người ngoài hành tinh độc ác đã sử dụng để xâm lược thế giới con người từ chiều thứ tư.

Mặc dù chúng ta chưa thấy lỗ sâu đục hay người ngoài hành tinh tới từ chiều thứ tư, nhưng người ta đã khám phá ra rằng các hành tinh và các mặt trăng của chúng trong Hệ Mặt Trời bị ràng buộc với nhau bởi mạng lưói các ống mà định nghĩa toán học của chúng đòi hỏi phải có số chiều nhiều hơn bốn. Các ống này cung cấp những con đường hiệu quả về năng lượng từ thế giới này tới thế giới khác. Chúng chỉ được nhìn thấy qua con mắt toán học, bởi vì chúng không tạo thành từ vật chất: các bức tường của chúng là các mức năng lượng. Nếu chúng ta có thể hiển thị phong cảnh luôn thay đổi của trường hấp dẫn điều khiển chuyển động của các hành tinh, chúng ta có thể nhìn thấy được các ống, uốn lượn cùng với các hành tinh khi chúng quay quanh Mặt Trời.

Các ống đã giải thích được một số vấn đề nan giải của động lực học quỹ đạo. Chẳng hạn, hãy xét sao chổi tên Oterma. Một thế kỷ trước, quỹ đạo của Oterma nằm xa bên ngoài quỹ đạo của Mộc tinh. Nhưng sau một lần đến gần hành tinh khổng lồ này, quỹ đạo của nó dịch vào bên trong quỹ đạo của Mộc tinh. Sau một lần chạm trán khác, quỹ đạo của Oterma lại trở ra bên ngoài. Chúng ta có thể tự tin dự đoán rằng Oterma sẽ tiếp tục chuyển đổi quỹ đạo theo cách này mỗi vài thập kỷ: không phải bởi vì nó phá vỡ các định luật của Newton, mà là bởi vì nó tuân thủ chúng.

Điều này khác xa với các ellip có trật tự. Những quỹ đạo được tiên đoán theo định luật hấp dẫn của Newton là ellip chỉ khi không có vật nào khác có lực hấp dẫn đáng kể. Nhưng Hệ Mặt Trời có rất nhiều những vật như thế và chúng có thể tạo ra sự khác biệt rất lớn và đầy ngạc nhiên. Đây chính là chỗ mà các ống bước vào câu chuyện. Quỹ đạo của Oterma nằm bên trong hai ống và hai ống này gặp nhau ở gần Mộc tinh. Một ống nằm phía trong quỹ đạo của Mộc tinh, còn ống kia lại nằm bên ngoài. Chúng bao gồm những quỹ đạo đặc biệt cộng hưởng theo tỉ lệ 3:2 và 2:3 với Mộc tinh, nghĩa là một vật trong quỹ đạo như vậy sẽ quay quanh Mặt Trời ba lần sau mỗi hai vòng quay của Mộc tinh, hay hai lần cho mỗi ba vòng. Ở chỗ nối của các ống gần Mộc tinh, sao chổi có thể chuyển ống hoặc không tùy thuộc vào những ảnh hưởng khá tinh tế của lực hấp dẫn từ Mộc tinh và Mặt Trời. Nhưng mỗi lần ở bên trong một ống, Oterma bị mắc kẹt ở đó cho đến khi ống trở lại chỗ nối. Giống như tàu hỏa phải ở trên đường ray, nhưng có thể chuyển sang đường ray khác nếu ai đó bẻ ghi, Oterma cũng vậy, nó có mức độ tự do nhất định trong việc thay đổi hành trình của mình, nhưng không nhiều (xem hình 15).

Hình 15 Trái : Hai quỹ đạo tuần hoàn cộng hưởng theo tỉ lệ 2:3 và 3:2 với Mộc tinh kết nối qua điểm Lagrange. Phải : Quỹ đạo thực của Oterma, từ 1910-1980.

Các ống và những điểm nối của chúng có vẻ khá bí hiểm, nhưng chúng là những đặc điểm tự nhiên và quan trọng của “địa lý hấp dẫn” của Hệ Mặt Trời. Những người xây dựng đường sắt thời Victoria hiểu rõ sự cần thiết phải lợi dụng các đặc điểm tự nhiên của cảnh quan, khi cho đường sắt chạy qua các thung lũng và dọc theo đường vòng, rồi đào các đường hầm xuyên qua núi thay vì đưa tàu đi qua đỉnh. Một lý do là tàu sẽ trượt nhanh theo dốc, nhưng vấn đề chính ở đây là năng lượng. Trèo lên một quả đồi, chống lại trọng lực, phải tiêu tốn năng lượng thể hiện ở chỗ lượng nhiên liệu tiêu thụ sẽ tăng, tức là tốn kém tiền bạc.

Du hành giữa các hành tinh cũng giống như vậy. Hãy tưởng tượng một con tàu vũ trụ chuyển động qua không gian. Điểm tới tiếp theo không chỉ phụ thuộc vào vị trí hiện tại của nó, mà còn phụ thuộc vào việc nó chuyển động nhanh chậm thế nào và theo hướng nào. Cần tới ba con số (tọa độ) để xác định vị trí của tàu vũ trụ, ví dụ, hướng của nó từ Trái Đất đòi hỏi hai số (các nhà thiên văn sử dụng độ xích kinh và độ xích vĩ, tương tự như kinh độ và vĩ độ trên thiên cầu, mặt cầu biểu kiến tạo bởi bầu trời đêm), và một số là khoảng cách của nó tới Trái Đất. Cần thêm ba số nữa để xác định vận tốc của nó theo ba hướng ấy. Như vậy, con tàu vũ trụ di chuyển qua một không gian toán học có sáu chiều chứ không phải là hai.

Cảnh quan tự nhiên thì thường không phẳng: nó có đồi núi và thung lũng. Cần có năng lượng để leo lên một ngọn đồi, nhưng đoàn tàu có thể thu lại năng lượng khi đi xuống một thung lũng. Thực tế, ở đây có hai loại năng lượng tham gia. Độ cao so với mực nước biển xác định thế năng của đoàn tàu, thể hiện ở công thực hiện để chống lại trọng lực. Bạn càng đi lên cao, thế năng của bạn càng lớn. Loại thứ hai là động năng, tương ứng với tốc độ. Bạn càng đi nhanh, động năng của bạn càng lớn. Khi con tàu đi xuống một thung lũng, và tăng tốc, nó chuyển đổi thế năng thành động năng. Khi nó leo lên đồi và giảm tốc, việc trao đổi xảy ra theo chiều ngược lại. Tổng năng lượng là hằng số, do vậy đường đi của tàu cũng tương tự như một đường đồng mức trong “cảnh quan” năng lượng. Tuy nhiên, con tàu có nguồn năng lượng thứ ba: than, dầu diezen, hay điện. Nhờ tiêu thụ nhiên liệu một con tàu có thể bò lên theo đường dốc nhất hay tăng tốc, giải phóng mình khỏi quỹ đạo chạy tự do theo tự nhiên. Tổng năng lượng vẫn không thay đổi nhưng tất cả có thể chuyển đổi được.

Tàu vũ trụ cũng rất giống vậy. Trường hấp dẫn tổng hợp của Mặt Trời, các hành tinh và các thiên thể khác trong Hệ Mặt Trời cung cấp thế năng. Tốc độ của tàu vũ trụ tương ứng với động năng. Và động lực của nó - lấy từ nhiên liệu của tên lửa, các ion, hay áp suất ánh sáng - thêm vào một nguồn năng lượng nữa, có thể tắt mở tùy ý. Đường đi của tàu vũ trụ là một loại đường đồng mức trong “cảnh quan” năng lượng tương ứng, và dọc theo đường này tổng năng lượng vẫn là hằng số. Và một số loại đường đồng mức này được bao quanh bởi các ống, tương ứng với các mức năng lượng gần đó.

Các kỹ sư đường sắt thời Victoria cũng đã ý thức được rằng bề mặt Trái Đất có những điểm đặc biệt: đỉnh núi, thung lũng và các hẻm núi - những thứ có ảnh hưởng lớn đến những lộ trình hiệu quả đối với đường sắt, bởi vì chúng cấu thành một dạng khung xương cho hình học tổng thể của các đường đồng mức. Ví dụ, gần một đỉnh núi hay đáy một thung lũng, đường đồng mức tạo thành một đường cong kín. Ở đỉnh núi, thế năng đạt giá trị cực đại địa phương; dưới thung lũng, nó đạt giá trị cực tiểu địa phương. Các hẻm núi tổng hợp các đặc điểm của cả hai thứ, đạt cực đại theo một hướng, cực tiểu theo hướng khác. Tương tự, cảnh quan năng lượng của Hệ Mặt Trời cũng có những điểm đặc biệt. Hiển nhiên nhất chính là các hành tinh và mặt trăng của chúng, chúng nằm ở đáy của hố thế hấp dẫn, giống như các thung lũng vậy. Quan trọng không kém, nhưng khó thấy hơn, là các đỉnh và các khe của cảnh quan năng lượng. Tất cả các đặc điểm này tổ chức nên hình học tổng thể và cùng với nó là các ống.

Cảnh quan năng lượng có các đặc điểm hấp dẫn khác đối với khách tham quan, đáng chú ý là các điểm Lagrange. Hãy tưởng tượng một hệ chỉ bao gồm Trái Đất và Mặt Trăng. Năm 1772, Joseph-Louis Lagrange đã khám phá ra rằng ở thời điểm bất kỳ, có đúng năm vị trí mà ở đó trường hấp dẫn của hai thiên thể đó, cùng với lực ly tâm, triệt tiêu nhau hoàn toàn. Ba trong số đó nằm thẳng hàng với Trái Đất và Mặt Trăng - điểm L1 giữa chúng, điểm L2 ở phía bên kia của Mặt Trăng và điểm L3 ở phía bên kia của Trái Đất. Nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler cũng đã khám phá ra các điểm này vào khoảng năm 1750. Hai điểm còn lại là L4 và L5, được biết đến dưới cái tên các điểm Trojan, nằm cùng quỹ đạo với Mặt Trăng nhưng vượt lên trước hoặc lùi lại sau 60 độ. Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, các điểm Lagrange cũng quay theo. Các cặp thiên thể khác cũng có các điểm Lagrange là Trái Đất/Mặt Trời, Mộc tinh/Mặt Trời, vệ tinh Titan/Thổ tinh.

Quỹ đạo chuyển Hohmann kiểu cũ được xây dựng từ các đoạn của đường tròn và ellip, đó là những quỹ đạo tự nhiên của các hệ hai vật. Các đường đi mới dựa trên ống được xây dựng từ các đoạn quỹ đạo tự nhiên của hệ ba vật, ví dụ như hệ Mặt Trời/Trái Đất/tàu vũ trụ. Ở đây các điểm Lagrange đóng một vai trò đặc biệt, giống các đỉnh núi và hẻm núi đối với đường sắt: nó là điểm nối mà ở đó các ống gặp nhau. L1 là vị trí tuyệt vời để tạo ra một sự thay đổi nhỏ về hành trình, bởi vì động lực học tự nhiên của một con tàu vũ trụ ở gần L1 là hỗn độn (xem hình 16). Hỗn độn là một đặc điểm hữu dụng (xem chương 16): một sự thay đổi nhỏ về vị trí hay vận tốc có thể gây ra những ảnh hưởng lớn tới quỹ đạo. Do vậy có thể dễ dàng chuyển tàu vũ trụ sang một trạng thái tiết kiệm năng lượng hơn, mặc dù có thể chậm chạp.

Hình 16 Hỗn độn ở gần Mộc tinh. Giản đồ này biểu diễn tiết diện ngang của các quỹ đạo. Các đường khép kín lồng trong nhau là các quỹ đạo tuần hoàn và các vùng chấm chấm còn lại là quỹ đạo hỗn độn. Hai vòng kín mảnh cắt ngang nhau ở bên phải là tiết diện của các ống.

Người đầu tiên xem xét ý tưởng này một cách nghiêm túc là nhà toán học sinh tại Đức, Edward Belbruno, một nhà phân tích quỹ đạo ở Phòng thí nghiệm tên lửa đẩy từ năm 1985 đến năm 1990. Ông nhận ra rằng động lực học hỗn độn trong bài toán nhiều vật mang lại cơ hội cho những quỹ đạo chuyển năng lượng thấp, và ông gọi tên kỹ thuật này là lý thuyết biên mờ. Năm 1991, ông đưa những ý tưởng của mình vào thực hành. Hiten, một con tàu thăm dò của Nhật Bản, đã vẽ bản đồ Mặt Trăng và đã hoàn thành nhiệm vụ được giao, rồi trở về quay quanh Trái Đất. Belbruno đã thiết kế một quỹ đạo mới để đưa nó trở lại Mặt Trăng mặc dù tiêu tốn khá nhiều nhiên liệu. Sau khi tiếp cận Mặt Trăng như đã được định trước, Hiten ghé qua các điểm L4 và L5 để tìm kiếm các bụi vũ trụ có thể bị bẫy ở đó.

Một kỹ thuật tương tự đã được sử dụng vào năm 1985 để định hướng lại con tàu ISEE-3 (International Sun-Earth Explorer) gần như đã bị mất tác dụng để nó tới gặp sao chổi Giacobini-Zinner, và nó lại được sử dụng lần nữa cho chuyến bay Genesis của NASA với mục đích mang về các mẫu của gió mặt trời. Các nhà toán học và các kỹ sư muốn thực hiện lại kỹ thuật này và tìm kiếm các kỹ thuật khác cùng loại, nhằm tìm hiểu xem cái gì đã khiến cho kỹ thuật này thành công? Hóa ra lại là các ống.

Ý tưởng nền tảng rất đơn giản nhưng thông minh. Các vị trí đặc biệt đó trong cảnh quan năng lượng giống như các hẻm núi tạo ra các cổ chai mà những nhà du hành tương lai không thể dễ dàng tránh được. Con người cổ đại đã phát hiện ra, một cách vô cùng vất vả, rằng mặc dù phải mất năng lượng để vượt qua một hẻm núi, nhưng sẽ mất nhiều năng lượng hơn nếu đi theo đường khác, trừ phi bạn có thể đi vòng qua núi theo một hướng hoàn toàn khác. Hẻm núi là một lựa chọn tồi, nhưng thà chấp nhận thế còn hơn.

Trong cảnh quan năng lượng, những thứ tương tự của hẻm núi bao gồm cả các điểm Lagrange. Gắn liền với chúng là những con đường đi vào rất cụ thể, cũng giống như con đường hiệu quả nhất để leo lên một hẻm núi. Và cũng có các con đường đi ra cụ thể không kém, tương tự như các con đường tự nhiên đi xuống hẻm núi. Để đi theo các con đường đi vào và đi ra đó một cách chính xác, bạn phải đi với tốc độ chuẩn xác, nhưng nếu tốc độ của bạn khác đi một chút, bạn vẫn có thể ở gần những con đường đó. Vào cuối thập niên 60, hai nhà toán học Mỹ là Charles Conley và Richard McGehee đã tiếp nối công trình tiên phong của Belbruno, họ đã chỉ ra rằng mỗi con đường như thế đều được bao quanh bởi một tập hợp các ống lồng vào nhau, cái này trong cái kia. Mỗi ống ứng với một lựa chọn tốc độ cụ thể; càng khác vận tốc tối ưu thì ống càng rộng. Trên bề mặt của một ống bất kỳ cho trước, tổng năng lượng là hằng số, nhưng hằng số này khác nhau từ ống này sang ống khác. Cũng giống như một đường đồng mức ở một độ cao nhất định, nhưng độ cao này là khác nhau đối với mỗi đường khác nhau.

Cách lập kế hoạch cho một chuyến bay hiệu quả, đó là tìm ra ống nào thích hợp với sự lựa chọn điểm đến của bạn. Khi đó bạn điều chỉnh tàu vũ trụ của bạn đi theo bên trong của ống đi vào đầu tiên, và khi nó đến điểm Lagrange gắn với ống, bạn nhanh tay bật động cơ để định hướng nó dọc theo một ống đi ra thích hợp nhất (xem hình 17). Ống này sẽ tiến một cách tự nhiên vào một ống đi vào tương ứng của điểm chuyển tiếp sau, và cứ như thế.

Hình 17 Trái : Các ống gặp nhau ở gần Mộc tinh. Phải : Cận cảnh của vùng các ống nối với nhau.

Các kế hoạch cho những chuyến bay theo ống trong tương lai thực ra cũng đã được vạch ra. Năm 2000, Wang San Koon, Martin Lo, Jerrold Marsden và Shane Ross đã sử dụng kỹ thuật ống để tìm hành trình của các mặt trăng của Mộc tinh, kết thúc với quỹ đạo quanh mặt trăng Europa, một kỹ thuật rất khôn ngoan so với các phương pháp trước đó. Con đường này bao gồm sự tăng tốc nhờ hấp dẫn ở gần mặt trăng Ganymede, tiếp sau là một hành trình theo ống tới Europa. Một lộ trình phức tạp hơn, thậm chí đòi hỏi ít năng lượng hơn, bao gồm cả mặt trăng Callisto nữa. Nó sử dụng một đặc điểm khác của cảnh quan năng lượng, đó là sự cộng hưởng. Những điều này xảy ra, chẳng hạn khi hai mặt trăng cùng trở lại các vị trí tương đối, nhưng một trong số đó quay trọn hai lần quanh Mộc tinh, trong khi mặt trăng kia quay trọn ba lần. Bất kỳ các số nguyên nhỏ nào cũng có thể thay thế cho 2 và 3 ở đây. Lộ trình này sử dụng động lực học năm vật: Mộc tinh, ba mặt trăng của nó và tàu vũ trụ.

Năm 2005, Michael Dellnitz, Oliver Junge, Marcus Post và Bianca Thiere đã sử dụng các ống để lập kế hoạch cho một chuyến bay tiết kiệm năng lượng từ Trái Đất lên Kim tinh. Ống chính ở đây liên kết điểm L1 của hệ Mặt Trời/Trái Đất tới điểm L2 của hệ Mặt Trời/Kim tinh. Để so sánh, cần biết rằng chuyến bay này chỉ sử dụng một phần ba năng lượng đòi hỏi bởi chuyến bay của Venus Express thuộc Hãng hàng không vũ trụ châu Âu, bởi vì nó có thể sử dụng động cơ đẩy chậm, giá phải trả là sự kéo dài thời gian đi từ 150 ngày tới gần 650 ngày.

Ảnh hưởng của các ống có thể còn tiến xa hơn. Trong một công trình chưa công bố, Dellnitz đã khám phá ra bằng chứng về một hệ tự nhiên các ống liên kết Mộc tinh với nhóm hành tinh trong (Thủy tinh, Kim tinh, Địa cầu, Hỏa tinh). Cấu trúc đặc biệt này, ngày nay gọi là Đường siêu cao tốc liên hành tinh, gợi ý rằng Mộc tinh, vốn được biết đến từ lâu là hành tinh lớn nhất của Hệ Mặt Trời, cũng đóng vai trò là Nhà ga trung tâm lớn trên trời. Các ống của nó rất có thể đã tổ chức nên sự hình thành của toàn bộ Hệ Mặt Trời, xác định khoảng cách giữa nhóm các hành tinh trong.

Thế nhưng tại sao các ống lại không được phát hiện ra sóm hơn? Cho đến rất gần đây, hai thứ có tầm quan trọng sống còn vẫn chưa được tìm ra. Một là hệ máy tính cực mạnh, có thể thực hiện được các tính toán cần thiết của bài toán nhiều vật. Những tính toán đó hết sức cồng kềnh và nặng nề nếu tính toán bằng tay. Nhưng thứ khác, còn quan trọng hơn, đó là sự hiểu biết sâu sắc về toán học của địa lý cảnh quan năng lượng. Không có chiến thắng giàu tưởng tượng của các phương pháp toán học hiện đại thì chẳng có gì để các máy tính tính cả. Và không có định luật về hấp dẫn của Newton, thì các phương pháp toán học cũng không bao giờ được nghĩ ra.