5 Điếm báo của thế giới các ý niệm Căn bậc hai của âm một

Phương trình này cho ta biết điều gì?

Nghe thì có vẻ như không thể xảy ra, nhưng bình phương của i bằng âm một.

Tại sao nó lại quan trọng?

Nó dẫn tới sự hình thành số phức, và sau này là giải tích phức, một trong những lĩnh vực nghiên cứu mạnh nhất của toán học.

Nó đã dẫn tới những gì?

Cải thiện phương pháp để tính các bảng lượng giác. Tổng quát hóa hầu như toàn bộ toán học sang địa hạt phức. Cung cấp các phương pháp mạnh hon để tìm hiểu các sóng, nhiệt, điện và từ. Là cơ sở toán học của cơ học lượng tử.

Nước Ý thời Phục Hưng là lò lửa của chính trị và bạo lực. Phía bắc của đất nước này bị kiểm soát bởi cả tá các thành bang chiến tranh, bao gồm cả Milan, Florence, Pisa, Genoa, và Venice. Ở phía nam, Guelphs và Gibellines cũng nổ ra xung đột khi các Giáo hoàng và các Hoàng đế La Mã thần thánh giao chiến tranh giành quyền lực tối thượng. Các toán quân đánh thuê lang thang khắp các vùng đất, làng quê bị tàn phá tan hoang, các thành phố ven biển thì tiến hành các cuộc thủy chiến với nhau. Năm 1454, Milan, Naples và Florence ký Hiệp ưóc Lodi, và hòa bình đã ngự trị trong bốn thập kỷ sau đó, nhưng chế độ giáo hoàng vẫn còn rất rối rắm trong hệ thống chính trị thối nát. Đó là thời kỳ của gia tộc Borgia, khét tiếng vì sẵn sàng đầu độc bất kỳ ai nghi ngờ sức mạnh chính trị và tôn giáo của họ, nhưng đó cũng là thời kỳ của Leonardo da Vinci, Brunelleschi, Piero della Francesca, Titian và Tintoretto. Trái với không khí âm mưu và giết chóc, những giả thuyết được kìm giữ từ lâu đã lại được đem ra thảo luận. Nghệ thuật và khoa học phát triển mạnh mẽ trong sự cộng sinh, cái này nuôi dưỡng cái kia.

Toán học cũng rất phát triển. Năm 1545, một học giả cờ bạc là Girolamo Cardano đã viết một cuốn sách đại số, và ông đã bắt gặp một loại số mới, rất kỳ lạ đến mức ông đã tuyên bố “nó huyền ảo cũng như vô dụng” và vứt bỏ khái niệm này. Rafael Bombelli đã nắm vững cuốn sách đại số của Cardano, nhưng ông cho rằng nó được trình bày khá rối rắm, và nghĩ rằng ông có thể viết tốt hơn. Năm 1572, ông đã nhận thấy một điều khá hấp dẫn: mặc dù các số mới kỳ lạ này vô nghĩa, nhưng chúng có thể được sử dụng trong các tính toán đại số, và nhận được các kết quả rõ ràng là chính xác.

Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã vưóng vào mối quan hệ yêu-ghét với các “số ảo” này, cái tên mà ngày nay người ta vẫn còn gọi. Bản thân tên gọi này đã bộc lộ thái độ lưỡng lự: chúng không phải là các số thực , những con số thông thường mà chúng ta gặp trong số học, nhưng trong hầu hết các khía cạnh thì chúng cũng hành xử giống số thực. Điểm khác biệt lớn nhất là khi bạn bình phương một số ảo, kết quả sẽ là một số âm. Nhưng điều này hẳn là không thể, vì các bình phương luôn dương.

Mãi tới thế kỷ 18 các nhà toán học mới thực sự hiểu ra số ảo là gì, dù vậy cũng phải đến thế kỷ 19 thì họ mới cảm thấy thoải mái với chúng. Nhưng rồi theo thời gian, địa vị về mặt logic của số ảo hoàn toàn sánh ngang với địa vị của các số thực truyền thống, rồi các số ảo đã trở nên không thể thay thế được trong toàn bộ toán học lẫn khoa học, và câu hỏi về ý nghĩa của chúng dường như không còn hấp dẫn nữa. Cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, mối quan tâm về cơ sở của toán học đã hồi sinh dẫn tới việc phải cân nhắc lại về khái niệm số, và các số “thực” truyền thống không còn được coi là thực hơn các số ảo nữa. Về phương diện logic, hai loại số này có địa vị như nhau. Cả hai đều là sản phẩm của trí tuệ con người và cả hai đều biểu diễn - nhưng không đồng nhất - những khía cạnh của tự nhiên. Tuy nhiên, chúng biểu diễn thực tại theo những cách khác nhau và trong những bối cảnh khác nhau.

Vào nửa sau của thế kỷ 20, các số ảo đã trở thành một phần của hộp các công cụ trí tuệ của tất cả các nhà toán học và khoa học. Chúng đã được gắn chặt với cơ học lượng tử theo một cách căn bản tới mức bạn không thể làm vật lý mà không có chúng, cũng như bạn không thể leo lên mặt bắc của đỉnh Eiger mà không có dây thừng. Ngay cả như vậy, các số ảo cũng rất hiếm khi được dạy ở phổ thông. Các phép cộng khá dễ, nhưng sự phức tạp và tinh vi về mặt trí tuệ cần thiết để đánh giá đúng việc các số ảo đáng để học thì vẫn là quá khó đối với hầu hết sinh viên. Rất ít người, ngay cả những người có học thức, nhận biết được xã hội của họ phụ thuộc sâu sắc đến mức nào vào các con số không biểu thị chiều dài, diện tích, hay lượng tiền bạc. Nhưng hầu hết công nghệ hiện đại, từ ánh sáng điện tới các camera kỹ thuật số, sẽ không xuất hiện nếu không có các số ảo.

Ta hãy quay trở lại một câu hỏi quan trọng. Tại sao các bình phương lại luôn dương?

Vào thời kỳ Phục Hưng, khi các phương trình nhìn chung được sắp xếp lại để các số trong chúng đều dương, thì người ta không đặt ra một câu hỏi như thế. Họ sẽ nói rằng nếu cộng thêm một số vào một bình phương, bạn sẽ thu được một số lớn hơn, chứ không thể nhận được số 0. Nhưng ngay cả khi bạn chấp nhận các số âm, như chúng ta hiện nay, thì các bình phương vẫn phải là số dương. Và đây là lý do.

Các số thực có thể âm hoặc dương. Tuy nhiên, bình phương của bất kỳ số thực nào, bất kể mang dấu gì, đều luôn là dương, bởi vì tích của hai số âm là một số dương. Chẳng hạn, cả 3 × 3 và -3 × -3 đều cho cùng kết quả là 9. Như vậy căn bậc hai của 9 nhận hai giá trị là 3 và -3.

Thế còn -9 thì sao? Căn bậc hai của nó bằng bao nhiêu?

Nó không có căn bậc hai nào cả.

Điều này quả là rất không công bằng: mỗi số dương có tới hai căn bậc hai, nhưng số âm thì không có gì cả. Nếu thay đổi quy tắc nhân hai số âm để có, chẳng hạn -3 × -3 = -9 thì sẽ thật hấp dẫn. Khi đó, mỗi số dương và mỗi số âm đều có một căn bậc hai; hơn nữa lại cùng dấu với bình phương của nó, nghe ra có vẻ thật rành mạch và gọn gàng. Nhưng lối lập luận đầy cám dỗ này có một bất lợi: nó làm hỏng các quy tắc thông thường của số học. Vấn đề ở đây là -9, thực ra đã bằng 3 × -3 như một hệ quả của phép nhân thông thường, và là một thực tế mà mọi người đều vui vẻ chấp nhận. Nếu ta cứ khăng khăng rằng -3 × -3 cũng bằng -9, thì -3 ×-3 = 3 × -3. Có vài cách để thấy ngay đẳng thức này có vấn đề; cách đơn giản nhất là chia cả hai vế cho -3, ta sẽ thu được 3 = -3.

Dĩ nhiên bạn có thể thay đổi các quy tắc của số học. Nhưng bấy giờ mọi thứ sẽ trở nên phức tạp và lộn xộn. Một giải pháp sáng tạo hơn là giữ nguyên các quy tắc của số học, và mở rộng hệ thống số thực bằng cách thừa nhận các số ảo. Một điều đáng chú ý và không một ai tiên đoán được, miễn là bạn cần đảm bảo triệt để tính logic - đó là bước đột phá dũng cảm này đã dẫn tới một hệ thống nhất quán đẹp đẽ của các số, với vô số các ứng dụng. Bây giờ tất cả các số, ngoại trừ 0, có hai căn bậc hai, số này là âm của số kia. Điều này vẫn đúng cho các số mới; hệ thống các số chỉ cần mở rộng một lần là đủ. Phải mất một khoảng thời gian thì các suy luận trên đây mới trở nên rõ ràng, nhưng hồi tưởng lại, có vẻ như đây là điều không tránh khỏi. Các số ảo, mặc dù là bất khả, nhưng không thể rũ bỏ được. Chúng có vẻ vô nghĩa, nhưng chúng vẫn nảy ra trong các tính toán. Đôi khi, việc sử dụng các số ảo làm cho những tính toán trở nên đơn giản hơn, kết quả dễ hiểu hơn và thỏa đáng hơn. Mỗi khi nhận được một câu trả lời nhờ dùng các số ảo, nhưng không hề chứa chúng một cách tường minh và có thể kiểm tra được một cách độc lập, thì hóa ra lại là kết quả chính xác. Nhưng khi đáp số có bao gồm các số ảo một cách tường minh thì nó lại có vẻ như là vô nghĩa, và thông thường thì mâu thuẫn về mặt logic. Bí ẩn này âm ỉ trong suốt hai trăm năm, và cuối cùng kết quả là một sự bùng nổ.

Cardano được biết đến như một học giả cờ bạc vì cả hai hoạt động này đóng vai trò nổi bật trong cuộc đời ông. Ông vừa là một thiên tài vừa là một kẻ lừa đảo. Cuộc đời ông là một chuỗi những rắc rối, cao thì rất cao mà thấp thì cũng rất thấp. Mẹ ông đã tìm cách phá thai khi mang thai ông, con trai ông bị chặt đầu vì giết vợ nó, và ông đã đánh bạc đến sạt nghiệp. Ông bị buộc tội là dị giáo vì đã lấy số tử vi của Chúa Jesus. Tuy nhiên, trong khi ấy, ông cũng đã trở thành hiệu trưởng trường Đại học Padua, được nhận vào trường College of Physicians - trường đào tạo bác sĩ - ở Milan, ông cũng là người được nhận 2000 cuaron vàng vì đã điều trị khỏi bệnh hen cho Tổng giám mục xứ Andrew, và nhận lương hưu từ giáo hoàng Gregory XIII. Ông đã sáng chế ra khóa tổ hợp và khóp vạn năng cho con quay hồi chuyển, ông cũng viết nhiều sách, trong đó có cuốn tiểu sử tự thuật tuyệt vời Cuốn sách của đời tôi (De Vita Propria ). Cuốn sách có liên quan đến câu chuyện của chúng ta là Ars Magna xuất bản năm 1545. Nhan đề của cuốn sách có nghĩa là “nghệ thuật vĩ đại” và nó giới thiệu về đại số. Trong cuốn sách này, Cardano đã tập hợp các ý tưởng tiên tiến nhất về đại số ở thời đó, bao gồm các phương pháp mới và đầy kịch tính để giải các phương trình, một số do một sinh viên của ông khám phá ra, một số thu được từ những người khác trong những hoàn cảnh gây tranh cãi.

Đại số, theo nghĩa quen thuộc của nó trong toán học ở trường phổ thông, là một hệ thống biểu diễn các con số bằng các ký hiệu, có nguồn gốc từ thòi Diophantus, khoảng năm 250 TCN . Trong cuốn Số học (Arithmetica ) của mình, Diophantus đã sử dụng các ký hiệu để mô tả các cách giải phương trình. Hầu như cả cuốn sách đều bằng lòi, chẳng hạn như, “tìm hai số mà tổng bằng 10 và tích bằng 24”. Nhưng Diophantus đã tổng kết các phương pháp mà ông sử dụng để tìm nghiệm (ở đây là 4 và 6) theo ký hiệu. Các ký hiệu này (xem Bảng 1) rất khác so với các ký hiệu mà chúng ta sử dụng ngày nay, và hầu hết là viết tắt, nhưng đây là điểm khởi đầu. Cardano chủ yếu dùng các từ, với một ít các ký hiệu cho căn thức, và lại một lần nữa các ký hiệu này không giống với các ký hiệu chúng ta dùng hiện nay. Các tác giả sau này đã hướng dần tới hệ thống ký hiệu hiện nay, mà hầu hết đã được Euler chuẩn hóa trong các cuốn sách giáo khoa của ông. Tuy nhiên Gauss vẫn tiếp tục sử dụng xx thay vì x 2 mãi cho tới năm 1800.

Bảng 1 Sự phát triển của các ký hiệu đại số.

Các chủ đề quan trọng nhất trong cuốn Nghệ thuật vĩ đại là các phương pháp mới để giải phương trình bậc ba và bậc bốn. Chúng cũng giống như phương trình bậc hai mà phần lớn chúng ta đã được học trong chương trình đại số ở trường phổ thông, nhưng phức tạp hơn. Một phương trình bậc hai biểu diễn mối liên hệ giữa một đại lượng chưa biết (ẩn số) thường được ký hiệu là x và bình phương của nó x 2 . Bậc hai ( quadratic ) là một từ Latin chỉ “bình phương” ( square ). Một ví dụ tiêu biểu là

x 2 - 5 x + 6 = 0

Nó được mô tả bằng lời như sau: “Bình phương của ẩn số, trừ đi năm lần ẩn số, và cộng thêm sáu: kết quả thu được bằng không.” Cho trước một phương trình một ẩn, nhiệm vụ của chúng ta là giải phương trình để tìm các giá trị ẩn số thỏa mãn phương trình ấy.

Đối với một giá trị được chọn ngẫu nhiên của x , phương trình này thường sẽ không đúng. Chẳng hạn, nếu ta lấy x = 1, khi đó x 2 - 5 x + 6 = 1 - 5 + 6 = 2, khác 0. Nhưng đối với một số lựa chọn hiếm hoi của x , phương trình là đúng. Ví dụ, khi x = 2 ta có x 2 - 5 x + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Nhưng đó không phải là nghiệm duy nhất! Khi x = 3, ta cũng có x 2 - 5 x + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. Như vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3, và có thể chứng tỏ rằng phương trình này không còn nghiệm nào khác nữa. Một phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm, một nghiệm, hoặc không có nghiệm (thực) nào. Chẳng hạn, phương trình < x 2 - 2 x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất x = 1, và phương trình x 2 + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.

Kiệt tác của Cardano giới thiệu các phương pháp để giải phương trình bậc ba, bao gồm lũy thừa bậc ba của biến, x 3, cùng với x 2 và x , và phương trình bậc bốn, với sự xuất hiện của x 4 . Khi này đại số trở nên rất phức tạp; ngay cả với các ký hiệu hiện đại cũng phải cần tới một hoặc hai trang giấy mới đi đến nghiệm. Cardano đã không tiếp tục với các phương trình bậc năm, bao gồm x 5 , bởi ông không biết cách giải chúng. Rất lâu sau này, người ta chứng minh được rằng các phương trình này không có nghiệm (theo kiểu như Cardano đã mong đợi): mặc dù giá trị bằng số của các nghiệm có thể tính được với độ chính xác rất cao trong bất cứ trường hợp cụ thể nào, nhưng không có công thức tổng quát cho các nghiệm, trừ phi bạn sáng chế ra một lớp ký hiệu mới đặc biệt cho nhiệm vụ này.

Tôi sẽ viết ra vài công thức đại số, bởi vì tôi nghĩ rằng chủ đề này sẽ mang nhiều ý nghĩa hơn nếu chúng ta không cố lảng tránh chúng. Bạn không cần phải theo dõi các chi tiết, nhưng tôi muốn chỉ cho bạn thấy mọi thứ trông thế nào. Sử dụng ký hiệu hiện đại, chúng ta có thể viết ra công thức nghiệm của Cardano trong một trường hợp đặc biệt, x 3 + ax + b = 0 với a , b cố định. (Nếu có thêm số hạng với x 2 , thì bằng một thủ thuật khéo léo ta có thể loại bỏ được nó, vì vậy trường hợp chọn ở đây thực sự đã bao quát được tất cả). Công thức nghiệm này như sau:

Hơi rối rắm một chút, nhưng cũng còn đơn giản hơn nhiều so với nhiều công thức đại số khác. Nó cho ta biết cách tính các nghiệm bằng cách tính bình phương của b và lập phương của a , cộng một vài phân số và lấy hai căn bậc hai (ký hiệu ) và hai căn bậc ba (ký hiệu ). Căn bậc ba của một số là một số khác mà khi lập phương lên ta được số ban đầu.

Việc khám phá ra công thức nghiệm của phương trình bậc ba ít nhất có liên quan tới ba nhà toán học khác, mà một người trong số đó đã từng cay đắng phàn nàn rằng chính Cardano đã hứa sẽ không tiết lộ bí mật đó của ông. Câu chuyện này mặc dù rất lôi cuốn, nhưng quá phức tạp để kể lại ở đây 1 . Người giải được phương trình bậc bốn tổng quát là một học trò của Cardano tên là Lodovico Ferrari. Tôi sẽ miễn cho các bạn công thức thậm chí còn phức tạp hơn nhiều cho các phương trình bậc bốn.

Những kết quả được trình bày trong cuốn Nghệ thuật vĩ đại là một chiến thắng toán học, đỉnh cao của một câu chuyện đã kéo dài cả thiên niên kỷ. Người Babylon đã biết cách giải phương trình bậc hai vào khoảng năm 1500 TCN, mà cũng có thể còn sớm hơn nữa. Người Hy Lạp cổ đại và Omar Khayyam đã biết sử dụng phương pháp hình học để giải phương trình bậc ba, nhưng lời giải đại số của phương trình bậc ba, chứ chưa nói tới bậc bốn, thì chưa hề có tiền lệ. Vậy là đùng một cái, toán học đã thực sự bỏ xa nguồn gốc cổ điển của nó.

Tuy vậy, vẫn có một trở ngại bất ngờ nho nhỏ. Cardano đã nhận thấy điều đó và một số người đã tìm cách giải thích; nhưng tất cả đều thất bại. Đôi khi, phương pháp vận hành hết sức tuyệt vời, nhưng lúc khác, công thức này lại bí ẩn như đền tiên tri Delphi vậy. Giả sử chúng ta áp dụng công thức Cardano cho phương trình x 3 - 15 x - 4 = 0. Kết quả thu được là

Tuy nhiên, -121 là một số âm, như vậy không thể khai căn nó được. Bí ẩn hơn nữa, phương trình này lại có một nghiệm rõ ràng x = 4, nhưng công thức lại không đưa ra được.

Ánh sáng hy vọng đã lóe lên vào năm 1572 khi Bombelli xuất bản cuốn Đại số (L’Algebra ). Mục đích chính của ông là trình bày lại cuốn sách của Cardano bằng một ngôn ngữ trong sáng hơn, nhưng khi gặp vấn đề gai góc đặc biệt này, ông đã phát hiện ra vài điều mà Cardano đã bỏ quên. Nếu bạn lờ đi ý nghĩa của các ký hiệu và chỉ thực hiện các tính toán theo thủ tục thông thường, thì các quy tắc cơ bản của đại số chỉ ra rằng

Do đó bạn có quyền viết:

Tương tự như vậy:

Bây giờ công thức gây trở ngại cho Cardano có thể viết lại thành:

và bằng 4 bởi vì hai căn bậc hai rắc rối triệt tiêu nhau. Như vậy, các tính toán hình thức vô nghĩa của Bombelli đã đưa ra đáp số đúng . Và đó là một số thực hoàn toàn bình thường.

Giả sử cứ cho là căn bậc hai của số âm có nghĩa, ngay cả khi mặc dù chúng rõ ràng không như vậy, thì bằng cách nào đó, ta vẫn có thể thu được đáp số có nghĩa. Tại sao?

Để trả lời câu hỏi này, các nhà toán học đã phải phát triển những cách thức đúng đắn để nghĩ về căn bậc hai của các đại lượng âm, và thực hiện những tính toán với chúng. Những học giả trước đó, trong đó có Descartes và Newton, diễn giải rằng các số “ảo” là một dấu hiệu chỉ ra bài toán không có nghiệm. Nếu bạn muốn tìm một số mà bình phương của nó bằng với -1, thì lời giải hình thức “căn bậc hai của âm một” là ảo, và như vậy không tồn tại một nghiệm nào hết. Nhưng tính toán của Bombelli cho thấy có nhiều số ảo hơn thế. Chúng có thể được sử dụng để tìm các nghiệm; chúng có thể xuất hiện như một bộ phận của các tính toán tìm nghiệm, một nghiệm thực sự tồn tại.

Leibniz đã không có bất kỳ nghi ngờ nào về tầm quan trọng của các số ảo. Năm 1702 ông viết: “Linh hồn thần thánh đã tìm thấy một lối thoát tuyệt vời trong cái kỳ quan ấy của giải tích, cái điềm báo của thế giới các ý niệm, cái lưỡng cư giữa tồn tại và không tồn tại, cái mà chúng ta gọi là căn bậc hai ảo của một số âm”. Nhưng sự hùng biện trong phát biểu của ông đã không thể che khuất được vấn đề căn bản: ông không hề có manh mối nào cho biết các số ảo thực tế là gì.

Một trong những người đầu tiên nghĩ ra cách biểu diễn có ý nghĩa của số phức là Wallis. Hình ảnh các số thực nằm dọc trên một đường thẳng giống như các điểm được đánh dấu trên thước kẻ đã là chuyện cũ rích rồi. Năm 1673, Wallis đề xuất rằng một số phức x + i y nên được coi là một điểm trong mặt phẳng. Kẻ một đường thẳng trong mặt phẳng và đồng nhất các điểm trên đường thẳng đó với các số thực theo cách thông thường. Sau đó, coi x + i y như một điểm nằm về một phía của đường thẳng vừa vẽ, cách điểm x một khoảng bằng y .

Ý tưởng của Wallis hầu như chẳng được ai đếm xỉa tới, tồi tệ hơn, còn bị phê bình. Franẹois Daviet de Foncenex, khi viết về các số ảo năm 1758, đã cho rằng việc nghĩ về các số ảo như một đường thẳng vuông góc với đường thẳng thực là vô nghĩa. Nhưng cuối cùng ý tưởng đó cũng hồi sinh với một dạng tường minh hơn. Thực tế, chỉ vài năm sau đó, có ba người đã nghĩ ra cùng một phương pháp để biểu diễn các số phức, xem hình 18. Một nhân viên trắc đạc người Na Uy, một nhà toán học người Pháp và một nhà toán học người Đức. Đó lần lượt là Caspar Wessel, công bố năm 1797, Jean- Robert Argand năm 1806, và Gauss năm 1811. Về cơ bản họ đưa ra ý tưởng giống như Wallis, nhưng họ đã thêm vào đó một đường thẳng thứ hai, một trục ảo vuông góc với trục thực. Dọc theo trục thứ hai này là các số ảo i, 2i, 3i,... Một số phức bất kỳ, chẳng hạn như 3 + 2i, nằm trên mặt phẳng cách trục thực 2 đơn vị và cách trục ảo 3 đơn vị.

Hình 18 Mặt phẳng phức. Trái : theo Wallis. Phải : theo Wessel, Argand, và Gauss.

Dạng biểu diễn hình học này thực sự rất tốt, nhưng nó không giải thích được vì sao các số phức lập thành một hệ nhất quán về mặt logic. Nó không cho chúng ta biết chúng là các số theo nghĩa nào. Nó chỉ cung cấp cho chúng ta một cách để hiển thị các số phức. Nó không hề định nghĩa một số phức là gì ngoài việc kẻ một đường thẳng định nghĩa các số thực. Nó chỉ cung cấp một loại cột chống về mặt tâm lý, một mối liên kết hơi nhân tạo giữa những số ảo điên rồ và thế giới thực, không hơn.

Điều thuyết phục các nhà toán học rằng họ nên quan tâm một cách nghiêm túc đến các số ảo không phải là một mô tả logic chúng là gì. Một bằng chứng nổi trội là: dù các số ảo có là gì đi nữa, thì toán học vẫn có thể sử dụng chúng một cách có hiệu quả. Bạn đừng nên lục vấn những câu hỏi khó về nền tảng triết học của một ý tưởng khi bạn sử dụng nó hằng ngày để giải các bài toán và bạn thấy rằng nó luôn đưa ra các đáp số đúng. Tất nhiên, các câu hỏi về nền tảng vẫn nhận được sự quan tâm nhất định, nhưng trước các vấn đề thực tiễn sử dụng ý tưởng mới để giải các bài toán cũ cũng như mới thì chúng phải lùi lại phía sau.

Các số ảo, và hệ thống các số phức mà chúng sinh ra, đã có vị trí ngày càng quan trọng trong toán học khi một vài nhà tiên phong đã chuyển sự chú ý của họ sang giải tích phức: phép tính vi tích phân (chương 3) nhưng với các số phức thay vì các số thực. bước đầu tiên là mở rộng các hàm thông thường - lũy thừa, logarit, các hàm mũ, và các hàm lượng giác cho số phức. Sinz là gì với z = x + i y là một số phức? e z hay log z là gì?

Về mặt logic, những thứ này có thể là bất kỳ cái gì ta muốn. Chúng ta đang hoạt động trong một địa hạt mới mà các ý tưởng cũ không áp dụng được nữa. Chúng không có nhiều ý nghĩa, chẳng hạn nếu ta nghĩ ra một tam giác vuông với các cạnh có độ dài phức, thì định nghĩa hình học của hàm sin sẽ không thích hợp. Chúng ta có thể khăng khăng rằng sin z có giá trị thông thường khi z nhận giá trị thực, nhưng sẽ bằng 42 nếu z không phải là thực, và thế là xong. Nhưng đó là một định nghĩa khá ngó ngẩn, không phải bởi vì nó không rõ ràng mà là bởi vì nó không có bất kỳ mối liên hệ gì với định nghĩa nguyên thủy (của hàm sin) đối với các số thực. Một đòi hỏi đối với định nghĩa mở rộng là nó phải nhất quán với định nghĩa ban đầu khi áp dụng cho các số thực, nhưng như thế còn chưa đủ. Điều này đúng đối với sự mở rộng ngó ngẩn của tôi cho hàm sin. Một đòi hỏi khác, đó là khái niệm mới vẫn phải giữ được nhiều nhất có thể những đặc điểm của khái niệm cũ; bằng cách này hay cách khác, nó phải “tự nhiên”.

Vậy những tính chất nào của sin và cos mà chúng ta muốn bảo toàn? Có lẽ chúng ta muốn tất cả những công thức đẹp đẽ của lượng giác vẫn còn hiệu lực, chẳng hạn như sin2 z = 2sin z cos z . Điều này đặt ra một mối ràng buộc, nhưng không giúp được gì cả. Một tính chất thú vị hơn được rút ra từ giải tích (cách phát biểu chặt chẽ của phép tính vi tích phân), là sự tồn tại của chuỗi vô hạn:

(Tổng của một chuỗi như thế này được định nghĩa là giới hạn của tổng một số hữu hạn các số hạng khi số các số hạng tăng lên vô hạn). Ta cũng có chuỗi tương tự cho cos:

và hai công thức này rõ ràng có liên quan với chuỗi cho hàm mũ:

Các chuỗi này trông có vẻ phức tạp, nhưng chúng có một đặc điểm hấp dẫn: chúng ta biết cách làm cho chúng có nghĩa đối với các số phức. Tất cả những thứ liên quan ở đây là các lũy thừa với số mũ nguyên (mà ta có thể thu được bằng cách nhân nhiều lần) và một vấn đề kỹ thuật về tính hội tụ (làm cho tổng vô hạn có nghĩa). Cả hai điều này đều có thể mở rộng một cách tự nhiên sang địa hạt các số phức và có tất cả những tính chất mà ta trông đợi. Như vậy ta có thể định nghĩa sin và cos cho các số phức bằng cách sử dụng chính các chuỗi trong trường hợp các số thực.

Vì tất cả các công thức thường gặp trong lượng giác là hệ quả của các chuỗi này, nên các công thức ấy cũng sẽ tự động chuyển qua. Những khẳng định cơ bản của giải tích, như “đạo hàm của sin là cos” cũng vậy. Công thức e z + w = e z e w cũng thế. Điều này quá tuyệt vời khiến cho các nhà toán học rất hài lòng chọn định nghĩa bởi chuỗi. Và một khi họ đã làm thế thì rất nhiều những thứ khác cần phải làm cho phù hợp với nó. Đầu xuôi hẳn đuôi sẽ lọt. Chẳng hạn, ba chuỗi ở trên trông rất giống nhau. Thật vậy, nếu bạn thay thế z bằng i z trong chuỗi của hàm mũ thì bạn có thể tách kết quả nhận được ra thành hai phần, và kết quả bạn nhận được chính là các chuỗi cho sin và cos. Do vậy, định nghĩa theo chuỗi cho ta:

e iz = cos z + i sin z

Bạn cũng có thể biểu diễn sin và cos theo hàm mũ:

Mối liên hệ ẩn giấu này thật là đẹp. Nhưng bạn sẽ không thể ngờ bất kỳ thứ gì giống như thế có thể tồn tại nếu bạn vẫn mắc kẹt trong địa hạt các số thực. Những sự tương tự kỳ lạ giữa các công thức lượng giác và hàm mũ (chẳng hạn, biểu diễn chuỗi vô hạn của chúng) vẫn sẽ chỉ như thế thôi. Nhưng nhìn qua thế giới số phức, mọi thứ đột nhiên ở vào đúng vị trí của chúng.

Một trong những phương trình đẹp nhất, nhưng cũng đầy bí ẩn, trong toàn thể toán học đã xuất hiện rất tình cờ. Trong các chuỗi lượng giác, số z (khi nhận giá trị thực) phải được đo bằng radian, mà đối với nó vòng tròn 360° sẽ trở thành 2π radian. Đặc biệt, góc 180° bằng π radian. Ngoài ra, sinπ = 0, cosπ = -1. Do vậy:

e iπ = cos π + i sin π = -1

Số ảo i kết hợp với hai số đáng chú ý nhất trong toán học là e và π trong một phương trình thật thanh nhã. Nếu như bạn chưa từng thấy nó bao giờ, và có dù chỉ chút ít nhạy cảm toán học, tóc trên gáy bạn sẽ dựng đứng lên và sống lưng bạn cũng phải nổi gai ốc. Phương trình này được mang tên

Euler, thường đứng đầu trong danh sách bầu chọn phương trình đẹp nhất trong toán học. Điều này không có nghĩa nó là phương trình đẹp nhất, mà chỉ cho thấy các nhà toán học đã đánh giá nó cao thế nào.

Được trang bị bởi các hàm phức và biết các tính chất của chúng, các nhà toán học thế kỷ 19 đã khám phá ra điều tuyệt vòi là họ có thể sử dụng các hàm này để giải các phương trình vi phân trong vật lý toán. Họ có thể áp dụng phương pháp này cho tĩnh điện, từ học và cơ học chất lưu. Và không chỉ có thế, nó lại khá dễ dàng .

Trong Chương 3 chúng ta đã nói về các hàm - đó là các quy tắc toán học gán một số cho trước với một con số tương ứng, ví dụ như bình phương của nó, hay sin của nó. Các hàm phức được định nghĩa hệt như vậy, chỉ có điều bây giờ chúng ta cho phép các số tham gia bao gồm cả các số phức nữa. Phương pháp giải phương trình vi phân trở nên khá đơn giản. Tất cả những việc bạn phải làm là lấy một hàm phức nào đó, gọi nó là f ( z ) và chia nó thành hai phần thực và ảo:

f ( z ) = u ( z ) + i v ( z )

Bây giờ bạn có hai hàm nhận giá trị thực là u và v , xác định đối với số phức bất kỳ z trong mặt phẳng phức. Hơn nữa, cho dù bạn bắt đầu với hàm số phức nào đi nữa, thì hai hàm thành phần này vẫn thỏa mãn các phương trình vi phân trong vật lý toán. Trong mô tả chất lưu, u và v xác định các đường dòng. Trong mô tả tĩnh điện, hai thành phần này xác định điện trường và cách mà một hạt tích điện nhỏ chuyển động trong đó; trong mô tả từ tính, chúng xác định từ trường và các đường sức từ.

Tôi sẽ chỉ đưa ra một ví dụ: một thanh nam châm. Hầu hết chúng ta đều nhớ đã từng xem một thí nghiệm nổi tiếng trong đó một thanh nam châm được đặt bên dưới một tờ giấy, với mạt sắt rắc đầy trên mặt. Chúng tự động xếp thành những đường sức từ gắn với thanh nam châm đó - đó là những đường cong mà một kim nam châm thử nhỏ sẽ hướng theo nếu được đặt vào từ trường đó. Những đường cong này trông giống như trong hình 19 ( trái ).

Hình 19 Trái Từ trường của thanh nam châm. Phải :Trường được suy ra khi dùng các hàm phức.

Để thu được bức tranh này ta sử dụng các hàm phức, chẳng hạn như f ( z ) = 1/ z . Đường sức hóa ra là các đường tròn, tiếp xúc với trục thực, giống như trên hình 19 ( phải ). Hình ảnh này giống với hình ảnh các đường sức từ của một thanh nam châm rất nhỏ. Một sự lựa chọn hàm phức phức tạp hơn sẽ tương ứng với một thanh nam châm có kích thước hữu hạn: Tôi chọn hàm này để giữ mọi thứ được đơn giản nhất có thể.

Điều này thật tuyệt vời. Có vô hạn các hàm để ta có thể sử dụng. Bạn quyết định hàm sẽ dùng, tìm ra phần thực và phần ảo của nó đồng thòi cả dạng hình học của nó nữa... và lạ chưa, bạn đã giải được một bài toán trong từ học, hay điện học, hay cơ học chất lưu. Rồi kinh nghiệm sẽ nhanh chóng chỉ cho bạn biết nên sử dụng hàm số nào cho bài toán nào. Logarit là nguồn điểm, trừ logarit là rãnh thoát nước mà qua đó chất lỏng biến mất như lỗ thoát nước của bồn rửa trong bếp vậy, i lần logarit là một xoáy điểm ở đó chất lỏng xoáy tít mù... Thật là thần diệu! Đây là một phương pháp có thể tìm được nghiệm của nhiều bài toán mà nếu không dùng nó việc giải sẽ rất khó khăn. Điều đó còn đảm bảo cho sự thành công, và nếu bạn còn băn khoăn về tất cả những điều nói trên của giải tích phức, bạn có thể kiểm tra trực tiếp rằng những kết quả mà bạn nhận được thực sự biểu diễn các nghiệm.

Đây mới chỉ là khởi đầu. Cũng như các nghiệm cụ thể, bạn có thể chứng minh các nguyên lý tổng quát, các hình mẫu ẩn giấu trong các định luật vật lý. Bạn có thể phân tích sóng, và giải các phương trình vi phân. Bạn có thể biến đổi hình dạng hình này thành hình khác bằng cách sử dụng các phương trình phức, và chính các phương trình này đã biến đổi các đường dòng xung quanh chúng. Phương pháp này chỉ dùng được giới hạn cho các hệ trong mặt phẳng, bởi vì đó là nơi một số phức thực sự tồn tại, nhưng phương pháp này là của trời cho, bởi vì trước đó, ngay cả các bài toán trong mặt phẳng cũng không thể chạm tới được. Ngày nay, mọi kỹ sư đều được dạy cách dùng giải tích phức để giải quyết các bài toán thực tiễn từ khá sóm trong thời gian học đại học của họ. Phép biến đổi Joukowski z + 1/ z biến một đường tròn thành dạng tiết diện ngang của một cánh máy bay thô sơ, xem hình 20. Do vậy, nó biến dòng chảy qua vòng tròn mà ta dễ dàng tính được thành dòng chảy qua cánh máy bay. Tính toán này và những cải tiến mang tính thực tiễn hơn rất quan trọng trong những ngày đầu của khí động lực học và thiết kế máy bay.

Hình 20 Dòng chảy qua cánh được suy ra từ phép biến đổi Joukowski.

Kho kinh nghiệm thực tế dồi dào đó lại làm cho các vấn đề cơ bản trở nên gây tranh cãi. Ai lại đi soi mới, chê bai một món quà được tặng bao giờ. Các số phức phải thực sự có ý nghĩa, nếu không nó không thể mang lại những kết quả như thế. Hầu hết các nhà toán học cũng như các nhà khoa học quan tâm nhiều đến chuyện đào ra vàng hơn là xác lập một cách chính xác vàng này ở đâu ra và nó khác với vàng giả ở chỗ nào. Nhưng vẫn có một số người kiên trì. Cuối cùng, nhà toán học người Ailen William Rowan Hamilton đã giải quyết mọi chuyện. Ông sử dụng biểu diễn hình học do Wessel, Argand và Gauss đề xuất, và biểu diễn chúng dưới dạng tọa độ. Một số phức là một cặp hai số thực ( x , y ). Các số thực là các số có dạng ( x , 0), còn số ảo i là (0, 1). Có các quy tắc đơn giản cho phép cộng và phép nhân các cặp như thế. Nếu bạn còn băn khoăn về một luật nào đó của đại số, như luật giao hoán ab = ba chẳng hạn, bạn có thể lấy hai cặp và thực hiện phép nhân theo quy tắc để thấy kết quả ở hai vế là như nhau. Nếu bạn đồng nhất ( x , 0) với x , bạn đã nhúng tập số thực vào tập số phức, và còn hay hơn nữa, x + i y khi đó sẽ vận hành như là một cặp ( x , y ).

Đó không chỉ đơn giản là một dạng biểu diễn, mà là một định nghĩa . Theo Hamilton, một số phức không gì khác hơn chính là một cặp các số thực thông thường. Điều làm chúng trở nên quá hữu dụng là việc lựa chọn đầy sáng tạo các quy tắc cho phép cộng và phép nhân đối với chúng. Câu hỏi các số này thực sự là gì giờ đã lỗi thời; vấn đề là ở chỗ bạn sử dụng chúng thế nào để có thể tạo ra những phép màu. Với thủ thuật đơn giản này, Hamilton đã chặn đứng những tranh cãi gay gắt mang tính triết học kéo dài hàng thế kỷ. Nhờ đó, các nhà toán học đã trở nên quen thuộc với việc sử dụng các số và các hàm phức đến nỗi không ai thèm quan tâm đến những vấn đề ấy nữa. Tất cả những gì bạn cần nhớ chỉ đơn giản là i 2 = -1.