6 Quá nhiều sự ầm ĩ về các nút Công thức Euler đối với khối đa diện

Phương trình này cho ta biết điều gì?

Số các mặt, các canh và các đỉnh của một khối đa diện không độc lập mà có mối liên hệ với nhau một cách đon giản.

Tại sao nó lại quan trọng?

Nó giúp chúng ta phân biệt các khối đa diện với các topo khác nhau bằng cách sử dụng một ví dụ sớm nhất về bất biến topo. Điều này đã lát đường cho những kỹ thuật tổng quát hon và mạnh hon, góp phần tạo ra một ngành toán học mới.

Nó đã dẫn tới những gì?

Một trong những lĩnh vực quan trọng nhất và mạnh nhất của toán học thuần túy: topo, ngành nghiên cứu các tính chất hình học bất biến dưới tác dụng của các biến dạng liên tục. Các ví dụ bao gồm các mặt, các nút và các liên kết. Hầu hết các ứng dụng đều là gián tiếp, nhưng ảnh hưởng của nó đằng sau sân khấu lại rất quan trọng. Nó giúp chúng ta hiểu được các enzym tác động lên ADN trong một tế bào như thế nào, và tại sao chuyển động của các thiên thể lại có thể là hỗn độn.

Vào khoảng cuối thế kỷ 19, các nhà toán học bắt đầu phát triển một loại hình học mới, trong đó các khái niệm quen thuộc như độ dài và góc không đóng vai trò gì và không có sự phân biệt giữa tam giác, hình vuông và hình tròn. Ban đầu nó được gọi là analysis situs , giải tích của vị trí, nhưng các nhà toán học nhanh chóng đặt cho nó một cái tên khác: topo học.

Topo học có nguồn gốc từ một hình mẫu số học lạ lùng mà Descartes đã nhận thấy vào năm 1639 khi ông nghiên cứu năm khối đa diện đều của Euclid. Descartes là một học giả uyên bác sinh tại Pháp nhưng gần như cả đòi ông sống ở một nước cộng hòa mà ngày nay là Hà Lan. Ông nổi tiếng chủ yếu nhờ triết học của mình, một triết học đã được chứng minh là có ảnh hưởng to lớn trong một thời gian dài, đến nỗi triết học phương Tây phần lớn chịu ảnh hưởng từ Descartes. Bạn có thể cho rằng không phải lúc nào bạn cũng đồng ý, nhưng dù sao vẫn lấy cảm hứng từ các lập luận của ông. Câu tuyên bố ngắn ngủi của ông: cogito ergo sum - “Tôi tư duy vậy tôi tồn tại” - đã trở thành một tuyên ngôn văn hóa rất thịnh hành. Nhưng các mối quan tâm của Descartes còn vươn rộng ra ngoài triết học, tới khoa học và toán học.

Năm 1639, Descartes đã chuyển sự chú ý của mình tới các khối đa diện đều, và đó là khi ông nhận ra một hình mẫu các số rất lạ lùng. Một khối lập phương có 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh; tổng 6 - 12 + 8 bằng 2. Một thập nhị diện đều có 12 mặt, 30 cạnh và 20 đỉnh; tổng 12 - 30 + 20 bằng 2. Một nhị thập diện đều có 20 mặt, 30 cạnh và 12 đỉnh; tổng 20 - 30 + 12 bằng 2. Hệ thức này cũng đúng đối với khối tứ diện đều và bát diện đều. Thực tế, ta có thể dùng mối liên hệ này cho mọi hình khối, bất kể hình dạng thế nào, đều hay không. Nếu một hình khối có F mặt, E cạnh và V đỉnh thì F - E + V = 2. Công thức này đối với Descartes không có gì là lạ lùng lắm, nên ông đã không công bố nó. Chỉ mãi rất lâu sau đó các nhà toán học mới coi công thức đơn giản và nhỏ gọn này như là một trong những bước thăm dò đầu tiên tới thành công vĩ đại của toán học thế kỷ 20, đó là sự phát triển không thể cưỡng nổi của topo học. Trong thế kỷ 19, ba trụ cột của toán học là đại số, giải tích và hình học. Nhưng vào cuối thế kỷ 20, đó là đại số, giải tích và topo học.

Topo học thường được đặc trưng như “hình học của tấm cao su” bởi vì nó là một loại hình học thích hợp với các hình vẽ được vẽ trên một tấm đàn hồi, do vậy các đường thẳng có thể bị uốn cong, co lại, dãn ra, và đường tròn có thể bị nén ép thành một tam giác hoặc hình vuông. Quan trọng hơn hết thảy ở đây là tính liên tục : bạn không được xé rách tấm đàn hồi. Điều đáng lưu ý là bất cứ thứ gì quá kỳ lạ đều có thể có một giá trị gì đó, nhưng tính liên tục lại là khía cạnh cơ bản của thế giới tự nhiên và là một đặc tính cơ bản của toán học. Ngày nay chúng ta hầu như không sử dụng topo học một cách trực tiếp, mà chỉ như một kỹ thuật toán học giữa muôn vàn kỹ thuật khác. Bạn không thể tìm thấy cái gì mang tính topo một cách hiển nhiên trong bếp nhà bạn. Tuy nhiên, một công ty Nhật Bản thực tế đã rao bán một máy rửa bát hỗn độn, mà theo lời các nhân viên maketing thì nó rửa bát sạch hơn, và hiểu biết của chúng ta về hỗn độn lại dựa trên topo học. Một số khía cạnh quan trọng của lý thuyết trường lượng tử và phân tử ADN tiêu biểu cũng vậy. Nhưng khi Descartes đếm những đặc điểm hiển nhiên nhất của các khối đa diện đều và phát hiện ra rằng chúng không độc lập với nhau, thì tất cả những điều đó vẫn còn trong tương lai rất xa.

Mãi đến khi tới tay Euler, nhà toán học không biết mệt mỏi và có năng suất làm việc cao nhất trong lịch sử, mối liên hệ đó mới được chứng minh và công bố vào các năm 1750 và 1751. Tôi sẽ phác thảo sơ lược ở đây một phiên bản hiện đại. Biểu thức F - E + V có vẻ hơi tùy tiện, nhưng nó có một cấu trúc rất thú vị. Các mặt ( F ) là các đa giác 2 chiều, các cạnh (E) là các đường thẳng và do vậy số chiều là 1, và các đỉnh (V) là các điểm với số chiều là 0. Dấu trong biểu thức đan xen lẫn nhau, + - +, với dấu + được gán cho đại lượng mang số chiều chẵn và - cho số chiều lẻ. Điều này ngụ ý rằng bạn có thể đơn giản hóa một hình khối bằng cách hợp nhất các mặt hay bỏ đi các cạnh và các đỉnh, và những sự thay đổi ấy không làm thay đổi đại lượng F - E + V, với điều kiện mỗi một lần bạn bỏ đi một mặt bạn cũng phải bỏ đi một cạnh, hay mỗi khi bạn bỏ đi một đỉnh thì cũng phải bỏ đi một cạnh. Dãy đan dấu thực ra đã làm cho những thay đổi kiểu này triệt tiêu nhau.

Bây giờ tôi sẽ giải thích vì sao cấu trúc thông minh này lại giúp ta chứng minh được hệ thức nói trên. Hình 21 minh họa cho ta thấy các bước then chốt. Hãy lấy hình khối của bạn và làm biến dạng nó thành một hình cầu hoàn hảo với các cạnh trở thành các đường cong trên mặt cầu đó. Nếu hai mặt có một cạnh chung, bạn có thể bỏ cạnh đó đi và nhập hai mặt đó làm một. Vì sự hợp nhất như thế làm cho số mặt và số cạnh cùng giảm đi 1, nên nó không làm thay đổi đại lượng F - E + V. Cứ tiếp tục như thế cho tới khi chỉ còn lại một mặt duy nhất, gần như phủ kín toàn mặt cầu. Ngoài mặt đó ra, bạn chỉ còn các cạnh và các đỉnh. Chúng phải tạo thành một cây, tức một mạng không có các vòng khép kín, bởi vì bất kỳ một vòng kín nào trên mặt cầu cũng chia ra ít nhất là hai mặt: một bên trong và một bên ngoài nó. Các nhánh của cây này là những cạnh còn lại của hình khối ban đầu và chúng nối với nhau ở các đỉnh còn lại. Ở bước này chỉ còn một mặt mà thôi: đó là toàn bộ mặt cầu, bỏ đi cái cây đó. Một số nhánh của cây này kết nối với các nhánh khác ở các đầu mút, nhưng số khác, ở ngoài cùng, kết thúc tại một đỉnh mà không kết nối với các nhánh khác. Nếu bạn bỏ đi một trong số các nhánh đầu cuối ấy cùng với đỉnh đó, thì cái cây sẽ nhỏ dần, nhưng vì cả E và V đều giảm đi 1, nên F - E + V lại vẫn không đổi.

Quá trình này cứ tiếp tục cho tới khi bạn chỉ còn lại một đỉnh duy nhất nằm trên một mặt cầu không có đặc điểm gì khác. Bây giờ V = 1, E = 0 và F = 1. Do vậy, F - E + V = 1 - 0 + 1 = 2. Nhưng vì từng bước biến đổi không làm thay đổi F - E + V, nên giá trị ban đầu của nó cũng phải bằng 2, đó chính là điều ta muốn chứng minh.

Hình 21 Các giai đoạn then chốt trong quá trình đơn giản hóa hình khối. Từ trái sang phải : (1) Bắt đầu. (2) Hòa nhập hai mặt liền kề. (3) Cây còn lại khi tất cả các mặt đã được hòa nhập làm một. (4) Bỏ đi một cạnh và một đỉnh của cây. (5) Kết thúc.

Đây là một ý tưởng thật khôn khéo, và nó chứa đựng mầm mống của một nguyên lý có tầm ảnh hưởng sâu rộng. Chứng minh này có hai yếu tố căn bản. Thứ nhất là quá trình đơn giản hóa: bỏ đi một mặt và một cạnh kề, hoặc bỏ đi một đỉnh và một cạnh nhận đỉnh đó làm đầu mút. Thứ hai là một bất biến, tức một biểu thức toán học không thay đổi mỗi khi bạn thực hiện một bước trong quá trình đơn giản hóa. Bất cứ khi nào hai yếu tố này đồng thời tồn tại, bạn có thể tính giá trị của bất biến cho bất kỳ vật nào bằng cách đơn giản hóa nó đến mức xa nhất có thể, và sau đó tính giá trị của bất biến cho phiên bản đã được đơn giản hóa đến tận cùng này. Bởi vì nó là một bất biến, nên hai giá trị này phải bằng nhau. Vì phiên bản cuối cùng rất đơn giản nên dễ dàng tính được giá trị của bất biến.

Bây giờ phải thú nhận là tôi đã giấu đi một vấn đề mang tính kỹ thuật. Công thức của Descartes, thực tế không đúng với mọi hình khối. Hình khối quen thuộc nhất mà nó không áp dụng được là chiếc khung ảnh. Hãy hình dung một khung ảnh làm từ bốn cạnh bằng gỗ, mỗi hình chữ nhật tiết diện được gắn với nhau nhờ bốn góc mộng 45° như trên hình 22 ( bên trái ). Mỗi thanh gỗ có bốn mặt, và như vậy F = 16. Mỗi thanh có bốn cạnh nhưng các mộng ghép lại tạo thêm 4 cạnh nữa ở bốn góc, như vậy E = 32. Mỗi một góc có bốn đỉnh, nên V = 16. Bởi thế F - E + V = 0.

Vậy có điều gì sai trong những lập luận trên?

Hình 22 Trái : Một khung ảnh có F- E + V = 0. Phải : Cấu hình cuối cùng khi khung ảnh bị uốn trơn các góc và đơn giản hóa.

Tổng F - E + V vẫn là bất biến, không vấn đề gì cả. Cũng như không có vấn đề gì nhiều đối với quá trình đơn giản hóa. Nhưng nếu bạn thực hiện quá trình ấy một cách xuyên suốt đối với chiếc khung ảnh, luôn bỏ đi một mặt và một cạnh của nó, hoặc một đỉnh và một cạnh nhận nó làm đầu mút, thì cấu hình đơn giản hóa cuối cùng không phải là một đỉnh duy nhất nằm trên một mặt duy nhất. Thực hiện quá trình lược bỏ theo cách hiển nhiên nhất, bạn sẽ thu được hình 22 ( phải ), với F = 1, V = 1, E = 2. Tôi đã làm trơn các mặt và các cạnh vì các nguyên nhân sẽ được nhanh chóng làm rõ dưới đây. Ở bước này, việc bỏ đi một cạnh chỉ làm hợp nhất mặt duy nhất còn lại với chính nó, như vậy sự thay đổi của các con số sẽ không triệt tiêu nhau nữa. Đó chính là câu trả lời cho câu hỏi tại sao đến đây chúng ta dừng lại, nhưng chúng ta có thể thở phào nhẹ nhõm: đối với cấu hình này, ta có F - E + V = 0. Như vậy phương pháp này đã hoạt động một cách hoàn hảo. Chỉ có điều nó đưa ra một kết quả khác cho chiếc khung ảnh mà thôi. Vì thế phải có một số khác biệt căn bản giữa chiếc khung ảnh và một khối lập phương, và bất biến F - E + V cho thấy điều đó.

Khác biệt này hóa ra lại là một khác biệt về mặt topo. Như ban đầu trong phiên bản của tôi về chứng minh của Euler, tôi đã bảo bạn hãy lấy một hình khối và làm biến dạng nó “thành một hình cầu hoàn hảo”. Nhưng ta không thể làm thế cho khung ảnh. Nó không thể biến dạng thành hình cầu, ngay cả khi đã được đơn giản hóa. Nó được biến thành một hình xuyến (giống như một cái xăm ôtô vậy), với một lỗ thủng ở giữa. Cái lỗ này cũng được nhìn thấy rõ ràng ngay trong hình dạng ban đầu của khung: đó chính là chỗ đặt bức ảnh vào. Trái lại, một hình cầu thì không có lỗ nào cả. Chính lỗ thủng trong khung ảnh là nguyên nhân khiến cho quá trình đơn giản hóa dẫn tới một kết quả khác. Tuy nhiên, chúng ta có thể giành lại chiến thắng từ hàm răng của thất bại, bởi vì F - E + V vẫn còn là một bất biến. Như vậy, chứng minh này cho chúng ta thấy rằng bất kỳ hình khối nào biến dạng được thành một hình xuyến sẽ thỏa mãn một phương trình hơi khác trước một chút: đó là phương trình F - E + V = 0. Hệ quả là chúng ta có cơ sở của một chứng minh chặt chẽ rằng một hình xuyến không thể biến dạng được thành một mặt cầu: tức là, hai mặt này khác nhau về phương diện topo.

Về mặt trực giác điều này là hiển nhiên, nhưng chúng ta có thể hỗ trợ trực giác bằng logic. Cũng như Euclid đã bắt đầu từ những tính chất hiển nhiên của các điểm và các đường thẳng, và hình thức hóa chúng thành một lý thuyết hình học chặt chẽ, các nhà toán học của thế kỷ 19 và 20 giờ đây cũng có thể phát triển một lý thuyết hình thức chặt chẽ cho topo học.

Hình 23 Trái : hình xuyến hai lỗ. Phải : hình xuyến ba lỗ.

Không cần phải suy nghĩ nhiều về điểm khởi đầu. Tồn tại các hình khối giống hình xuyến nhưng có hai lỗ hoặc nhiều hơn, như hình 23, và chính bất biến ở trên sẽ cho ta biết một vài điều hữu ích về các hình khối đó. Hóa ra bất kỳ hình khối nào có thể biến dạng thành một hình xuyến có hai lỗ đều thỏa mãn phương trình F - E + V = - 2, thành hình xuyến ba lỗ thì thỏa mãn F - E + V = - 4, và tổng quát một hình khối bất kỳ có thể biến dạng thành một hình xuyến g-lỗ sẽ thỏa mãn F - E + V = 2 - 2 g . Ký hiệu g là viết tắt của “genus - giống”, một tên gọi chuyên môn chỉ “số các lỗ thủng”. Theo đuổi dòng suy nghĩ mà Descartes và Euler đã khởi đầu sẽ dẫn ta tới mối liên hệ giữa một tính chất định lượng của hình khối, như số lượng các mặt, đỉnh, và cạnh và tính chất định tính của nó là có hay không có các lỗ thủng. Chúng ta gọi tổng F - E + V là đặc số Euler của hình khối và để ý rằng nó chỉ phụ thuộc vào hình khối mà chúng ta xem xét chứ không phụ thuộc vào việc chúng ta cắt nó thành các mặt, các cạnh và các đỉnh như thế nào. Điều này làm cho nó trở thành một đặc điểm nội tại của hình khối.

Đồng ý, chúng ta đếm các lỗ thủng, một thao tác định lượng, nhưng bản thân các “lỗ thủng” lại là định tính theo nghĩa rằng nó hoàn toàn không hiển nhiên là một đặc điểm của hình khối. Theo trực giác, nó là một miền trong không gian mà tại đó hình khối không tồn tại . Nhưng không phải miền không gian bất kỳ. Xét cho cùng, mô tả này áp dụng cho toàn bộ không gian xung quanh hình khối và không ai có thể coi nó là một lỗ thủng. Và nó cũng áp dụng cho vùng không gian bao quanh một mặt cầu... là hình khối không hề có một lỗ thủng nào. Thực tế, càng nghĩ lỗ thủng là gì, bạn sẽ càng nhận ra rằng rất khó để định nghĩa một thứ như thế. Ví dụ ưa thích của tôi để chỉ ra điều này rối rắm tới mức nào là hình khối trong hình 24, được biết đến dưới cái tên một- lỗ-thủng-qua-một-lỗ-thủng-trong-một-lỗ-thủng. Nhìn bên ngoài, bạn có thể xâu một lỗ thủng qua một lỗ thủng khác, mà thực tế đó là một lỗ thủng trong một lỗ thủng thứ ba.

Quả là điên rồ.

Hình 24 Một-lỗ-thủng-qua-một-lỗ-thủng-trong-một-lỗ-thủng.

Sẽ không có vấn đề gì đáng kể nếu các hình khối có lỗ thủng không hề có vai trò quan trọng gì ở bất kỳ đâu. Nhưng đến cuối thế kỷ 19 chúng lại xuất hiện trong hầu hết các lĩnh vực của toán học - trong giải tích phức, hình học đại số và hình học vi phân của Riemann. Tồi tệ hơn nữa, những dạng tương tự có số chiều cao hơn của các hình khối lại đóng vai trò trung tâm trong tất cả các lĩnh vực của toán học từ thuần túy tới ứng dụng; chẳng hạn, như đã được nói đến, động lực học của Hệ Mặt Trời đòi hỏi sáu chiều cho mỗi vật thể. Và chúng có sự tương tự với số chiều cao hơn của các lỗ thủng. Bằng cách này hay cách khác ta cần phải lập lại ít nhiều trật tự trong địa hạt này. Và câu trả lời hóa ra... lại là các bất biến.

Ý tưởng về bất biến topo bắt nguồn từ một công trình của Gauss về từ học. Ông rất quan tâm tới mối liên kết giữa các đường sức điện và đường sức từ, và ông đã định nghĩa số liên kết, tức số cho biết đường sức của một trường quấn quanh đường sức của trường kia bao nhiêu lần. Đây là một bất biến topo, cụ thể là số liên kết này luôn không thay đổi bất kể các đường cong (đường sức) này biến dạng liên tục như thế nào. Ông đã tìm ra công thức tính số liên kết này nhờ sử dụng phép tính tích phân, và như mọi khi, ông bày tỏ mong muốn có hiểu biết sâu sắc hơn về các “tính chất hình học căn bản” của các giản đồ. Không phải ngẫu nhiên mà những bước tiến nghiêm túc đầu tiên hướng tới những hiểu biết như thế đến từ công trình của một học trò của Gauss, Johann Listing, và trợ lý của Gauss, August Möbius. Công trình Nghiên cứu về topo học (Vorstudien zur Topologie ) của Listing công bố năm 1847 đã giới thiệu thuật ngữ “topo” và Möbius đã làm cho vai trò của các phép biến đổi liên tục trở nên tường minh.

Listing có một ý tưởng rất thông minh: tìm cách tổng quát hóa cho công thức của Euler. Biểu thức F - E + V là một bất biến tổ hợp: đặc trưng của cách mô tả hình khối một cách cụ thể, dựa trên việc chia nó thành các mặt, các cạnh và các đỉnh. Số lượng các lỗ thủng g là một bất biến topo: hình khối bị biến dạng nhưng nó không thay đổi, chừng nào các phép biến dạng còn là liên tục. Một bất biến topo nắm giữ một đặc điểm định tính bản chất; còn bất biến tổ hợp thì cho ta một phương pháp để tính toán nó. Cả hai loại bất biến này khi kết hợp với nhau trở nên rất mạnh, bởi vì chúng ta có thể sử dụng khái niệm bất biến topo để tư duy về các hình và sử dụng phiên bản tổ hợp để xác định những thứ mà ta đang nói tới.

Thực tế, công thức này cho phép chúng ta tránh đi vấn đề định nghĩa “lỗ thủng” đầy rắc rối. Thay vì thế, chúng ta định nghĩa “số các lỗ thủng” như một gói, mà không định nghĩa “lỗ thủng” hay đếm xem có bao nhiêu. Bằng cách nào? Dễ thôi. Chỉ cần viết lại phiên bản tổng quát của công thức Euler F - E + V = 2 - 2 g dưới dạng:

g = 1 - F /2 + E /2 - V /2

Bây giờ chúng ta có thể tính g bằng cách vẽ các mặt, cạnh và đỉnh trên hình khối của chúng ta, đếm F , E và V và thay các giá trị ấy vào công thức. Vì biểu thức này là một bất biến, nên dù ta có cắt hình khối ra thế nào, ta vẫn sẽ thu được cùng một kết quả. Nhưng những gì ta làm ở trên không hề phụ thuộc vào việc có một định nghĩa về lỗ thủng hay không. Thay vào đó, “số các lỗ thủng” trở thành một sự diễn giải thông qua trực giác, được rút ra từ việc xem xét các ví dụ đơn giản mà ta cảm thấy ta có thể hiểu cụm từ ấy mang ý nghĩa gì.

Nghe có vẻ như một trò lừa gạt, nhưng nó tạo ra cuộc đột nhập quan trọng vào câu hỏi trung tâm trong topo học: khi nào một hình có thể biến dạng liên tục thành hình khác? Tức là, trong chừng mực mà các nhà topo quan tâm, hai hình dạng có là như nhau hay không? Nếu chúng giống nhau, các bất biến của chúng cũng phải giống nhau; đảo lại, nếu các bất biến khác nhau, thì các hình cũng phải khác nhau. (Tuy nhiên, đôi khi hai hình có thể có cùng bất biến, nhưng khác nhau; nó phụ thuộc vào bất biến). Vì mặt cầu có đặc số Euler bằng 2, hình xuyến có đặc số Euler bằng 0, nên không có cách nào để làm biến dạng liên tục một mặt cầu thành một hình xuyến. Điều này nghe có vẻ hiển nhiên, vì lỗ thủng... nhưng chúng ta đã thấy những sai lầm chết người mà lối tư duy như thế sẽ dễ dẫn tới. Bạn không cần phải giải thích đặc số Euler để có thể sử dụng nó nhằm phân biệt các hình dạng và ở đây dứt khoát là như vậy.

Kém hiển nhiên hơn, đặc số Euler chỉ ra rằng lỗ-thủng- qua-một-lỗ-thủng-trong-một-lỗ-thủng (hình 24) đầy bí hiểm thực chất chỉ là một hình xuyến ba lỗ trá hình. Hầu hết những mặt mang vẻ ngoài phức tạp không phải là do topo nội tại của mặt đó, mà chỉ đơn giản từ cách tôi chọn để nhúng nó trong không gian.

Định lý thực sự đáng chú ý đầu tiên trong topo học đã nảy sinh từ công thức của đặc số Euler. Đó là sự phân loại đầy đủ các mặt, các dạng cong hai chiều như bề mặt của hình cầu hay của hình xuyến. Ở đây, một cặp điều kiện kỹ thuật được áp đặt: mặt đó phải không có biên và có ngoại diện hữu hạn (thuật ngữ chuyên môn là “compact’ ).

với mục đích đó, một mặt sẽ được mô tả một cách thực chất, tức là, nó không được hình dung như là tồn tại trong một không gian bao quanh nào đó. Có một cách để làm như thế, đó là xem các mặt như một số các miền đa giác (mà về mặt topo tương đương với các đĩa tròn) được gắn với nhau dọc theo các cạnh của chúng theo các quy tắc đã được định rõ, giống như chỉ dẫn dán “mép A với mép B” mà bạn nhận được khi phải lắp ghép các tấm các-tông. Chẳng hạn, một mặt cầu có thể được mô tả bằng cách sử dụng hai đĩa, gắn với nhau theo biên của chúng. Một đĩa trở thành bán cầu bắc, cái còn lại là bán cầu nam. Hình xuyến thì có một sự mô tả đặc biệt tao nhã, đó là một hình vuông với hai cạnh đối được gắn với nhau. Cách xây dựng này có thể được trực quan hóa trong một không gian bao quanh (hình 25) để giải thích tại sao nó lại tạo thành một hình xuyến, nhưng toán học có thể thực hiện điều đó bằng cách chỉ dùng hình vuông cùng với các quy tắc gắn, và rõ ràng cách này có nhiều lợi thế vì nó thuộc về bản chất.

Hình 25 Gắn các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình xuyến.

Khả năng gắn các phần của biên với nhau dẫn tới một hiện tượng kỳ lạ: mặt chỉ có một phía. Ví dụ nổi tiếng nhất là dải Möbius, được Möbius và Listing đưa ra năm 1858, đó là một băng giấy hình chữ nhật mà hai đầu được gắn với nhau sau một phép quay 180° (thường được gọi là phép xoắn nửa vòng, với quy ước 360° tạo thành một phép xoắn trọn vẹn). Dải Möbius, xem hình 26 ( trái ), có một cạnh, bao gồm các cạnh của hình chữ nhật không gắn với cái gì hết. Đó là cạnh duy nhất bởi vì hai cạnh phân biệt của hình chữ nhật đã được gắn với nhau thành một vòng khép kín bởi phép xoắn nửa vòng.

Hình 26 Trái : Dải Möbius. Phải : Chai Klein. Sự tự cắt biểu kiến xảy ra bởi vì hình vẽ đã nhúng nó vào không gian ba chiều.

Có thể làm một mô hình bằng giấy của dải Möbius, bởi vì nó nhúng một cách tự nhiên trong không gian ba chiều. Dải này chỉ có một phía, theo nghĩa là nếu bạn bắt đầu sơn một mặt của nó và cứ tiếp tục thì cuối cùng bạn cũng sơn được toàn bộ bề mặt của dải Möbius, cả trước và sau. Sở dĩ như vậy là vì phép xoắn nửa vòng đã kết nối mặt phía trước và mặt phía sau với nhau. Đây không phải là một mô tả thực chất bởi vì nó dựa trên việc nhúng dải Möbius vào không gian, nhưng lại có một tính chất tương đương, mang tính kỹ thuật hơn, được biết đến dưới cái tên tính định hướng được, và tính chất này là thực chất.

Có một mặt liên quan cũng chỉ có một phía, nhưng không có cạnh nào cả, như trên hình 26 ( phải ). Nó sinh ra khi ta gắn hai cạnh của một hình chữ nhật với nhau giống như dải Möbius, và gắn hai cạnh còn lại mà không xoắn gì cả. Một mô hình như thế trong không gian ba chiều thì phải tự đi xuyên qua chính nó, mặc dù từ quan điểm thực chất, các quy tắc gắn không hề nhắc gì đến việc tự cắt cả. Nếu mặt này được vẽ ra với sự tự cắt như thế, nó sẽ trông giống như một cái chai mà cổ chai lại đi xuyên qua thành chai và gắn với đáy. Chai này được Felix Klein khám phá ra, và cũng được biết đến dưới cái tên chai Klein - gần như là một trò đùa dựa trên một trò chơi chữ trong tiếng Đức, thay Kleinsche Flache (mặt Klein) thành KleincheFlasche (chai Klein).

Chai Klein không có biên và compact, nên bất kỳ sự phân loại nào của các mặt cũng phải bao hàm nó. Nó được biết đến nhiều nhất trong họ các mặt một phía, và điều đáng ngạc nhiên là nó lại không phải là mặt đơn giản nhất. Vinh dự này thuộc về mặt phẳng xạ ảnh, sinh ra nếu bạn gắn hai cạnh đối diện của hình vuông với nhau, mỗi cái xoắn nửa vòng (Rất khó làm với giấy vì giấy quá cứng; giống như chai Klein, nó đòi hỏi mặt phải tự cắt. Nó chỉ được hình thành tốt nhất trên “khái niệm”, tức là, bằng cách vẽ trên hình vuông và ghi nhớ các quy tắc dán khi các đường thẳng rời khỏi cạnh và “quấn lại”). Định lý phân loại các mặt, do Johann Listing chứng minh khoảng năm 1860, dẫn tới hai họ các mặt. Các mặt hai phía đó là mặt cầu, mặt xuyến, mặt xuyến hai lỗ, xuyến ba lỗ, v.v. Các mặt chỉ có một phía tạo thành một họ vô hạn tương tự, bắt đầu với mặt phẳng xạ ảnh và chai Klein. Ta có thể thu được chúng bằng cách cắt một đĩa nhỏ ra khỏi mặt hai phía tương ứng và dán chúng lại như dán dải Möbius.

Các mặt xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực của toán học. Chúng rất quan trọng trong giải tích phức, nơi các mặt gắn với các kỳ dị, các điểm mà ở đó dáng điệu của hàm số trở nên lạ lùng - chẳng hạn đạo hàm của chúng không còn tồn tại nữa. Các kỳ dị là chìa khóa để giải quyết rất nhiều vấn đề trong giải tích phức; theo nghĩa là chúng nắm bắt cái cốt yếu của hàm số. Bởi vì các kỳ dị có liên hệ với các mặt, nên topo của các mặt sẽ cung cấp một công cụ quan trọng cho giải tích phức. Về mặt lịch sử, nó đã thúc đẩy việc phân loại các mặt.

Hầu hết topo học hiện đại là cực kỳ trừu tượng, và nhiều vấn đề của nó xảy ra trong không gian bốn chiều hoặc nhiều hơn. Chúng ta có thể cảm nhận được đôi chút về môn này trong một môi trường quen thuộc hơn: thế giới của các nút. Trong thế giới thực, các nút là các chỗ rối được thắt ở chiều dài nào đó của sợi dây. Các nhà topo cần có một cách để cho các nút, một khi đã bị thắt, không bị tuột ra ở các đầu mút sợi dây, vì thế họ nối các đầu mút này lại với nhau để tạo thành một vòng kín. Bây giờ một nút chỉ là một vòng tròn được nhúng trong không gian. Về bản chất, một nút đồng nhất về mặt topo với một đường tròn, nhưng trong trường hợp này, cái phải tính đến là đường tròn ấy nằm trong không gian bao quanh nó như thế nào. Điều này dường như trái với tinh thần của topo học, nhưng bản chất của một nút nằm trong mối liên hệ giữa vòng kín của dây và không gian bao quanh nó. Bằng cách xem xét không chỉ các nút, mà cả cách nó liên quan tới không gian bao quanh như thế nào, topo học có thể xử lý các vấn đề quan trọng liên quan tới các nút. Trong số đó có các câu hỏi sau:

• Làm thế nào để biết một nút đã thực sự bị thắt? • Bằng cách nào chúng ta có thể phân biệt được, về mặt topo, các nút khác nhau? • Liệu chúng ta có thể phân loại được tất cả các nút khả dĩ?

Kinh nghiệm cho thấy có nhiều loại nút khác nhau. Hình 27 là một vài nút trong số đó: nút ba lá, nút kép đối xứng ( reef ), nút granny , nút số 8 , nút stevedore , v.v. Còn có cả không-nút, một vòng tròn thông thường; và đúng như tên gọi của nó, vòng này không bị thắt nút. Có nhiều loại nút đã được nhiều thế hệ thủy thủ, nhà leo núi và các hướng đạo sinh sử dụng. Dĩ nhiên, bất kỳ lý thuyết topo nào cũng phải phản ánh được kho tàng kinh nghiệm phong phú này, nhưng mọi thứ cần phải được chứng minh, một cách chặt chẽ, bên trong khuôn khổ hình thức của topo học, giống như Euclid đã chứng minh định lý Pythagor thay vì chỉ vẽ ra vài tam giác và đo các cạnh của chúng. Đáng chú ý là, chứng minh topo đầu tiên về sự tồn tại của nút, theo nghĩa là có một phép nhúng một đường tròn mà nó không thể biến dạng thành không-nút, xuất hiện lần đầu tiên năm 1926 trong công trình Các nút và các nhóm (Knoten und Gruppen ) của nhà toán học Đức Kurt Reidemeister. “Nhóm” là một thuật ngữ trong đại số trừu tượng, nó đã nhanh chóng trở thành nguồn hiệu quả nhất cho các bất biến topo. Năm 1927, Reidemeister và độc lập với ông, nhà toán học Mỹ James Waddel Alexander cùng học trò của mình là G. B. Briggs, tìm được một chứng minh đơn giản hơn về sự tồn tại của nút, bằng cách sử dụng “giản đồ nút”. Đó là hình minh họa của nút, được vẽ với những khe hở (đứt) nhỏ trong vòng để chỉ sự chồng lên nhau của các đoạn dây riêng biệt, như trong hình 27. Các chỗ đứt (hay khe hở) này thực ra không hiện diện trong bản thân vòng được thắt nút, nhưng chúng thể hiện cấu trúc ba chiều trên một giản đồ hai chiều. Bây giờ chúng ta có thể sử dụng các khe hở này để tách các giản đồ nút thành một số các mảnh phân biệt, tức các yếu tố cấu thành nên nó, và sau đó chúng ta có thể co dãn giản đồ để xem các thành phần ấy biến đổi thế nào.

Hình 27 Năm nút và một không-nút.

Nếu bạn nhìn lại cách chúng ta sử dụng tính bất biến của đặc số Euler, bạn sẽ thấy tôi đã đơn giản hóa hình khối bằng cách sử dụng một chuỗi các bước đặc biệt: hợp nhất hai mặt bằng cách bỏ đi một cạnh, hợp nhất hai cạnh bằng cách bỏ đi một đỉnh. Ta cũng có thể sử dụng cùng một mẹo như thế với các giản đồ nút, nhưng bây giờ bạn cần ba bước để đơn giản hóa chúng, gọi là các bước Reidemeister, xem hình 28. Mỗi bước có thể thực hiện theo một hướng nào đó: thêm vào hay bỏ đi một phép xoắn, chồng hai dây lên nhau, kéo chúng rời xa nhau, hay kéo một dây vào vùng đã có hai dây khác cắt ngang nhau.

Hình 28 Các bước Reidemeister.

Với một vài thủ thuật sơ bộ để sắp xếp lại giản đồ nút, như là thay đổi những vị trí mà ở đó có ba đường cong chồng chéo lên nhau, ta có thể chứng minh rằng bất kỳ một phép biến dạng nào của một nút cũng có thể biểu diễn dưới dạng một chuỗi hữu hạn các bước Reidemeister áp dụng cho giản đồ của nó. Bây giờ chúng ta đã có thể chơi trò chơi của Euler, tất cả những thứ mà chúng ta phải làm chỉ đơn giản là tìm kiếm một bất biến. Một trong số đó là nhóm của nút, nhưng còn có một bất biến đơn giản hơn rất nhiều, nó chứng minh nút ba lá thực sự là một nút. Tôi có thể diễn giải điều này bằng cách tô màu các thành phần phân biệt của nó trên giản đồ nút. Tôi sẽ bắt đầu với một giản đồ hơi phức tạp hơn là tôi cần, với thêm một vòng nữa, để minh họa một số đặc điểm của ý tưởng này, hình 29.

Hình 29 Tô màu nút ba lá với thêm một vòng xoắn.

Phần xoắn thêm vào tạo ra bốn thành phần riêng biệt. Giả sử tôi sử dụng ba màu, chẳng hạn đỏ, vàng và xanh (tương ứng trong hình là đen, xám nhạt, và xám đậm) để tô cho mỗi thành phần. Phép tô màu này tuân theo hai quy tắc đơn giản:

• Chí ít phải sử dụng hai màu phân biệt. (Thực tế có cả thảy ba màu, nhưng đó là thông tin dư mà tôi không cần tới). • Ở mỗi chỗ bắt chéo (hay chồng lên nhau), hoặc cả ba sợi ở gần giao điểm đều được tô màu khác nhau, hoặc phải được tô cùng một màu. Gần chỗ bắt chéo do có vòng phụ thêm của tôi, cả ba thành phần đều được tô màu vàng. Hai trong số các thành phần (màu vàng) này nối với nhau ở một điểm nào đó, còn ở gần chỗ bắt chéo này thì chúng tách rời nhau.

Một nhận xét tuyệt vời là: nếu một giản đồ nút có thể được tô bằng ba màu, tuân theo hai quy tắc trên, thì nó vẫn giữ nguyên những tính chất ấy sau bất kỳ một bước Reidemeister nào. Bạn có thể chứng minh điều này một cách dễ dàng bằng cách tìm ra các màu sẽ biến đổi thế nào sau các bước ấy. Chẳng hạn, nếu tôi không xoắn thêm một vòng phụ trong hình vẽ trên thì tôi vẫn giữ nguyên màu sắc trong đó và mọi thứ vẫn thế. Tại sao điều này lại tuyệt vời? Bởi vì nó chỉ ra rằng nút ba lá thực sự là một nút. Để lập luận, giả sử rằng nút được cởi ra; khi đó sau một số bước Reidemeister nó biến thành một vòng không nút. Vì ta có thể tô màu nút ba lá một cách dễ dàng để tuân theo hai quy tắc trên, nên chính điều này cũng phải áp dụng được cho vòng không nút. Nhưng một vòng không nút chỉ gồm có một sợi dây duy nhất không có bất kỳ sự chồng chéo nào, nên cách duy nhất để tô màu nó là sử dụng cùng một màu trên cả sợi dây. Nhưng điều này vi phạm quy tắc thứ nhất. Như vậy, bằng phản chứng, ta đã chứng minh được rằng không tồn tại chuỗi các bước Reidemeister nào như thế cả, tức là nút ba lá không thể tháo cởi được.

Điều đó chứng tỏ nút ba lá là một nút, nhưng không giúp ta phân biệt nó với các nút khác, như nút kép đối xứng hay nút stevedore. Một trong những cách sóm nhất có hiệu quả để làm điều đó đã được Alexander khám phá ra. Nó được suy ra từ các phương pháp đại số trừu tượng của Reidemeister, nhưng nó dẫn tới một bất biến có tính đại số theo nghĩa quen thuộc hơn của đại số dạy trong nhà trường. Nó được gọi là đa thức Alexander, và nó liên kết các nút với một công thức tạo bởi lũy thừa của một biến X. Nói một cách chặt chẽ, thuật ngữ đa thức chỉ được áp dụng cho các số mũ dương, nhưng ở đây chúng ta vẫn chấp nhận cả các số mũ âm nữa. Bảng 2 liệt kê một vài đa thức Alexander. Nếu hai nút trong bảng có đa thức Alexander khác nhau (các nút được nêu ở đây đều thế trừ nút granny và nút kép đối xứng) thì chúng phải có bản chất topo khác nhau. Điều ngược lại không đúng: nút kép đối xứng và nút granny có cùng đa thức Alexander nhưng vào năm 1952, Ralph Fox đã chứng minh được rằng về phương diện topo thì chúng khác nhau. Phép chứng minh đòi hỏi những kiến thức topo phức tạp đến kinh ngạc. Nó khó hơn mọi người tưởng rất nhiều.

Bảng 2 Các đa thức Alexander của các nút.

Khoảng sau năm 1960, lý thuyết nút đã rơi vào tình trạng đình trệ về mặt topo, nó trở nên im ắng hoàn toàn trong một đại dương bao la các câu hỏi còn để ngỏ, chờ đợi một luồng khí khai mở sáng tạo thổi vào. Và điều đó đã đến vào năm 1984, khi nhà toán học người New Zealand Vaughan Jones đã có một ý tưởng rất đơn giản mà có lẽ bất kỳ ai từ sau thời Reidemeister cũng có thể nghĩ tới. Jones không phải là một nhà lý thuyết nút, thậm chí cũng không phải là một nhà topo học. Ông là một nhà giải tích, làm việc với đại số các toán tử, một lĩnh vực có liên quan rất nhiều đến vật lý toán. Hoàn toàn không có gì đáng ngạc nhiên rằng những ý tưởng này có thể áp dụng cả cho lý thuyết nút, vì các nhà toán học và vật lý học đã từng biết tới những mối liên kết rất thú vị giữa đại số toán tử và các dây tết, một dạng đặc biệt của nút đa-sợi. Bất biến nút mới mà ông khám phá ra, gọi là đa thức Jones, cũng được định nghĩa bằng cách dùng giản đồ nút và ba loại bước. Tuy nhiên, các bước lại không bảo toàn loại topo của nút; tức chúng không bảo toàn “đa thức Jones”. Dù vậy, điều rất đáng ngạc nhiên là ý tưởng này vẫn có thể sửa đổi để vận hành được và các đa thức Jones trở thành một bất biến nút.

Hình 30 Các bước của Jones.

Đối với bất biến này chúng ta phải chọn một hướng cụ thể dọc theo nút, được chỉ bằng một mũi tên. Đa thức Jones V ( x ) được định nghĩa bằng 1 đối với không-nút. Với một nút L 0 bất kỳ đã cho, chuyển hai sợi phân biệt lại gần nhau mà không làm thay đổi bất kỳ chỗ bắt chéo nào trong giản đồ của nó. Phải rất thận trọng để gióng các hướng như trên hình vẽ: đó là lý do phải cần tới các mũi tên, và quá trình này sẽ không thể vận hành được nếu không có chúng. Thay thế miền L 0 bởi hai sợi cắt nhau theo hai cách khả dĩ (hình 30). Ký hiệu các giản đồ nút tạo thành sau phép thay thế này là L + và L - . Bây giờ hãy định nghĩa:

( x 1/2 - x -1/2 ) V ( L 0 ) = x -1 V ( L + ) - x V ( L - )

Bằng cách bắt đầu với không-nút và áp dụng các bước nói trên một cách đúng đắn, bạn có thể tìm ra đa thức Jones cho một nút bất kỳ. Thật bí ẩn, hóa ra nó lại là một bất biến topo. Và nó còn làm được những điều tốt hơn đa thức Alexander truyền thống: chẳng hạn, nó phân biệt nút kép đối xứng với nút granny, bởi vì chúng có các đa thức Jones khác nhau.

Khám phá của Jones đã mang lại cho ông huy chương Fields, giải thưởng uy tín nhất của toán học. Nó cũng gây ra sự bùng nổ các bất biến nút mới. Năm 1985, bốn nhóm các nhà toán học khác nhau, gồm tám người tất cả, đã đồng thời khám phá ra cùng một sự tổng quát hóa của đa thức Jones và gửi bản thảo của họ một cách độc lập tới cùng một tạp chí. Tất cả bốn chứng minh đều khác nhau, và biên tập viên đã khuyên các tác giả hợp lực lại và cùng công bố một bài báo tổng hợp. Bất biến của họ được gọi là đa thức HOMFLY, cái tên được ghép từ những chữ cái đầu trong tên của họ. Nhưng ngay cả đa thức Jones và HOMFLY cũng chưa trả lời được hoàn toàn ba câu hỏi của lý thuyết nút. Người ta vẫn còn chưa biết một nút với đa thức Jones bằng 1 có phải là một không-nút hay không, mặc dù nhiều nhà topo học cho rằng điều này có lẽ là đúng. Có các nút phân biệt về mặt topo nhưng lại có cùng đa thức Jones; ví dụ đơn giản nhất được biết đến có mười chỗ chồng chéo trong giản đồ nút của nó. Một phép phân loại có hệ thống của tất cả các nút khả dĩ có thể vẫn còn là một giấc mơ xa vời của các nhà toán học.

Tất cả những điều trên rất đẹp, nhưng liệu có ích lợi gì không? Topo học có nhiều ứng dụng, nhưng hầu hết trong số đó đều là gián tiếp. Các nguyên lý topo học đã cung cấp một cái nhìn sâu sắc và xuyên thấu vào những lĩnh vực khác, có khả năng ứng dụng trực tiếp hơn. Chẳng hạn, hiểu biết của chúng ta về hỗn độn có nền tảng là các tính chất topo của hệ động lực, ví dụ như những dáng điệu kỳ lạ mà Poincaré đã nhận thấy khi ông viết lại bản thảo được giải thưởng của mình (xem Chương 4). Đường siêu cao tốc giữa các hành tinh là một đặc điểm topo của động lực học của Hệ Mặt Trời.

Những ứng dụng bí ẩn hơn của topo học lại xuất hiện ở biên giới của vật lý cơ bản. Ở đây những người sử dụng topo học nhiều nhất là các nhà lý thuyết trường lượng tử, bởi vì lý thuyết siêu dây, một lý thuyết có tham vọng thống nhất cơ học lượng tử và thuyết tương đối, được xây dựng dựa trên topo học. Ở đây, những tương tự của đa thức Jones trong lý thuyết nút đã phát sinh trong bối cảnh các giản đồ Feynman, giản đồ cho biết các hạt lượng tử như electron và photon chuyển động trong không-thời gian, va chạm, hợp nhất và phân rã như thế nào. Giản đồ Feynman hơi giống với giản đồ nút, và những ý tưởng của Jones có thể được mở rộng tới phạm vi đó.

Đối với tôi, một trong những ứng dụng hấp dẫn nhất của topo học là việc sử dụng nó trong sinh học ngày càng nhiều, giúp chúng ta hiểu được sự vận hành của phân tử sự sống, đó là ADN. Topo học xuất hiện trong sinh học bởi ADN là một chuỗi xoắn kép, giống như hai tay vịn cầu thang xoắn ốc quấn quanh nhau. Hai sợi (mạch) ở đây được xoắn rất phức tạp, và các quá trình sinh học quan trọng, đặc biệt là cách một tế bào sao chép ADN của nó khi phân chia, phải tính đến topo học phức tạp này. Khi Francis Crick và James Watson công bố công trình của họ về cấu trúc phân tử của ADN vào năm 1953, họ đã kết thúc công trình này với một ám chỉ ngắn gọn về một cơ chế sao chép khả dĩ có thể xảy ra trong quá trình phân chia tế bào, trong đó hai sợi được kéo ra xa nhau và mỗi sợi lại được sử dụng như một khuôn mẫu cho một bản sao chép mới. Họ không muốn tuyên bố quá nhiều bởi vì họ ý thức được rằng có những trở ngại về mặt topo để kéo các sợi đã xoắn bện vào nhau ra xa. Suy xét quá cụ thể về đề xuất của họ ở giai đoạn còn quá sóm như vậy sẽ chỉ làm cho tình hình trở nên rối ren hơn.

Cuối cùng, hóa ra Crick và Watson lại đúng. Những trở ngại về mặt topo là có thực, nhưng sự tiến hóa đã cung cấp những phương pháp để khắc phục chúng, như các enzym đặc biệt để cắt và dán các sợi ADN. Không phải ngẫu nhiên mà tên của một trong số các enzym đó lại là topoisomerase. Trong những năm 1990, các nhà toán học và sinh học phân tử đã sử dụng topo học để phân tích sự xoắn và xoay của ADN nhằm nghiên cứu cách thức hoạt động của nó trong tế bào, nơi mà các phương pháp nhiễu xạ tia X thông thường không thể sử dụng được bởi vì chúng đòi hỏi các ADN phải ở dạng tinh thể.

Hình 31 Vòng ADN tạo nên một nút ba lá.

Một số enzym, gọi là tái tổ hợp, cắt hai sợi của ADN và nối chúng lại theo một cách khác. Để xác định một enzym như thế hoạt động như thế nào khi nó nằm trong tế bào, các nhà sinh học đã áp dụng enzym đó cho một vòng kín của ADN. Sau đó họ quan sát hình dạng của vòng đã bị biến đổi qua kính hiển vi điện tử. Nếu enzym đó nối các sợi phân biệt với nhau, thì hình ảnh thu được sẽ là một nút, như hình 31. Nếu enzym giữ cho các sợi tách rời nhau, thì hình ảnh quan sát được sẽ là hai vòng liên kết với nhau. Các phương pháp từ lý thuyết nút như đa thức Jones và một lý thuyết khác mang tên “rối”, sẽ giúp cho ta có thể biết khi nào kết quả là một nút hoặc một liên kết, và điều này cung cấp cho ta thông tin chi tiết về cách hoạt động của một enzym. Chúng cũng đưa ra các tiên đoán mới đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, cho ta thêm tự tin rằng cơ chế do các tính toán topo chỉ ra là đúng đắn 1 .

Tóm lại, bạn không bước vào thế giới topo mỗi ngày trong cuộc sống đòi thường, ngoại trừ cái máy rửa bát mà tôi đề cập đến ở đầu chương này. Nhưng ẩn sau đó, topo học đã cung cấp thông tin về toàn bộ dòng chủ lưu của toán học, tạo điều kiện phát triển những kỹ thuật khác với các ứng dụng thực tế rõ ràng hơn. Đó là lý do tại sao các nhà toán học lại coi trọng topo học đến thế, trong khi phần còn lại của thế giới chẳng mấy khi nghe về nó.