Chú thích
1 Cuốn sách về những điều kỳ lạ và thú vị trong toán học của Penguin của David Wells đã trích dẫn dưới dạng rút gọn của câu chuyện đùa: Một vị thủ lĩnh người Ấn Độ có ba người vợ chuẩn bị sinh nở, một người trên một tấm da trâu, một trên một tấm da gấu, và người cuối cùng trên tấm da hà mã. Theo đúng trình tự, người đầu tiên sinh cho ông một người con trai, người thứ hai sinh một người con gái, và người cuối cùng, sinh đôi, một trai một gái, bởi vậy câu chuyện này có thể dùng minh họa cho định lý Pythagor nổi tiếng với lý do rằng người đàn bà sinh nở trên tấm da hà mã thì bằng hai người đàn bà trên hai tấm da kia cộng lại. Câu chuyện vui này có lẽ đã xuất hiện chí ít từ giữa những năm 50 của thế kỷ trước, được phát trên đài BBC trong chương trình “My Word”, được dàn dựng bởi hai nhà viết kịch bản hài là Frank Muir và Denis Norden.
2 Trích dẫn mà không có nguồn tham khảo từ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html
3 A. Sachs, A. Goetze, and O. Neugebauer. Mathematical Cuneiform Texts , American Oriental Society, New Haven 1945.
4 Hình vẽ được nhắc lại để tiện dùng, hình 60:
Hình 60 Chia một tam giác thành hai tam giác vuông.
Đường cao chia cạnh b thành hai phần. Áp dụng lượng giác, một phần có độ dài là a cos C , do vậy cạnh còn lại sẽ có độ dài là b-a cosC. Gọi h là độ dài đường cao. Theo định lý Pythagor:
a 2 = h 2 + (a cos C) 2
c 2 = h 2 + (b - a cos C) 2
tức là,
c 2 - h 2 = (b - a cos C) 2 = b 2 - 2ab cos C + a 2 cos 2 C
Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất; thành phần không mong muốn h 2 sẽ bị triệt tiêu. Thành phần a 2 cos 2 C cũng vậy, và chúng ta được:
c 2 - a 2 = b 2 - 2ab cos C
phương trình này sẽ dẫn đến công thức được phát biểu ở trên.
Chương 21 http://www.17centurymaths.com/contents/napiercon tents.html
2 Trích từ lá thư John Marr viết cho William Lilly.
3 Phương pháp Prosthapheiresis dựa trên một công thức lượng giác được phát minh bởi Franẹois Viète, đó là
Nếu bạn có một bảng giá trị của sin, công thức trên sẽ cho phép bạn tính bất kỳ tích lượng giác nào mà chỉ sử dụng tổng, hiệu và phép chia cho 2.
Chương 31 Keynes chưa bao giờ giảng bài đó. Hội Hoàng gia đã có dự định kỷ niệm 300 năm Newton vào năm 1942, nhưng Thế chiến thứ II đã xảy ra, do vậy lễ kỷ niệm đã phải hoãn lại cho tới 1946. Những người thuyết trình bao gồm các nhà vật lý Edward da Costa Andrade và Niels Bohr, và hai nhà toán học Herbert Turnbull và Jacques Hadamard. Hội Hoàng gia cũng mời Keynes, người có hứng thú với các bản thảo của Newton cũng như với kinh tế. Ông đã viết một bài giảng với nhan đề “Newton, người đàn ông ấy”, nhưng ông đã mất trước khi lễ kỷ niệm này diễn ra. Anh trai của ông là Geoffrey đã đọc bài giảng thay mặt ông.
2 Câu này xuất phát từ một lá thư mà Newton viết cho Hooke năm 1676. Nó không mới: năm 1159, John ở Salisbury đã viết: “Bernard ở Chartres thường nói rằng chúng ta giống như những chú lùn đứng trên vai những người khổng lồ, do vậy chúng ta có thể nhìn xa hơn họ”. Cho tới thế kỷ 17 nó đã trở thành một câu nói quen thuộc.
3 Phép chia cho 0 dẫn tới những phép chứng minh ngụy biện. Chẳng hạn, chúng ta có thể “chứng minh” rằng mọi con số đều bằng 0. Giả sử rằng a = b . Do đó a 2 = a b nên a 2 - b 2 = a b - b 2 . Phân tích thành nhân tử ta được ( a + b )( a - b ) = b ( a - b ). Chia cả hai vế cho ( a - b ) suy ra a + b = b . Bởi vậy a = 0. Sai lầm ở đây là phép chia cho ( a - b ), số bằng 0, vì ta đã giả sử a = b .
4 Richard Westfall. Never at Rest , Cambridge University Press, Cambridge 1980, p. 425.
5 Erik H. Hauri, Thomas Weinreich, Alberto E. Saal, Malcolm C. Rutherford, and James A. Van Orman. High pre- eruptive water contents preserved in lunar meltinclusions, Science Online (26 May 2011) 1204626. [DOI:10.1126/ science.1204626]. Kết quả của họ đã gây nhiều tranh cãi.
6 Tuy nhiên, đây không phải một sự trùng hợp. Nó áp dụng được cho tất cả các hàm số khả vi: những hàm có đạo hàm liên tục. Những hàm số này bao gồm tất cả các đa thức và chuỗi lũy thừa hội tụ, như logarit, hàm số mũ và các hàm lượng giác khác.
7 Định nghĩa hiện đại như sau: một hàm số f ( h ) tiến tới giới hạn L khi h tiến tới 0 nếu với mọi ε > 0 bất kỳ, tồn tại δ > 0 sao cho | f ( h ) - L| < ε nếu |h| < δ . Sử dụng tính chất với mọi ε > 0 bất kỳ giúp chúng ta tránh phải viện đến bất kỳ thứ gì trôi hay trở nên nhỏ hơn: nó xử lý tất cả các giá trị khả dĩ chỉ trong một bước.
Chương 41 Sách Sáng Thế đã dẫn về “bầu trời”. Hầu hết các học giả tin rằng điều này được dẫn ra từ đức tin Do Thái rằng các vì sao là các đốm sáng nhỏ gắn cố định trên mái vòm của Thiên đàng, có hình dạng như một bán cầu. Đó chính là hình dạng khi nhìn bầu trời đêm: cách chúng ta trực quan hóa cảm nhận tương ứng với những vật ở xa khiến các vì sao trông giống như cùng cách chúng ta một khoảng vậy. Rất nhiều nền văn hóa, đặc biệt là Trung và Viễn đông, đều coi thiên đàng như một cái bát quay chậm.
2 Sao chổi lớn xuất hiện năm 1577 không phải là sao chổi Halley mà là một sao chổi khác rất quan trọng về mặt sử học, ngày nay được gọi là C/1577 V1. Nó có thể quan sát bằng mắt thường vào năm 1577 trước công nguyên. Brahe đã quan sát sao chổi này và đưa ra kết luận rằng các sao chổi nằm ngoài khí quyển của Trái đất. Sao chổi này hiện tại cách Mặt Trời khoảng 24 tỉ kilomet.
3 Con số này chưa được biết cho đến năm 1798, khi Henry Cavendish thu được một kết quả chính xác nhất có thể trong một thí nghiệm thực hiện trong phòng thí nghiệm. Nó vào khoảng 6,67 X 10 -11 Nm 2 /kg 2
4 June Barrow-Green. Poincaré và bài toán ba vật (Poincaré and the Three Body Problem,) , American Mathematical Society, Providence 1997.
Chương 51 Năm 1535, hai nhà toán học Antonio Fior và Niccolò Fontana (biệt danh Tartaglia, “người nói lắp”) đã tham gia vào một cuộc đấu tay đôi công khai. Họ đưa cho nhau các phương trình bậc ba để thách giải, và Tartaglia đã đánh bại Fior một cách thuyết phục. Ở thòi đó, các phương trình bậc ba được phân thành ba loại riêng biệt, bởi vì các số âm vẫn chưa được tìm ra. Fior chỉ biết cách giải một loại trong số đó; ban đầu Tartaglia chỉ biết giải một loại khác, nhưng không lâu trước khi cuộc đấu diễn ra, ông đã khám phá ra cách giải tất cả các dạng còn lại. Ông đã đưa cho Fior chỉ những loại phương trình mà ông biết chắc Fior không thể giải được. Cardano, lúc đó đang viết một cuốn sách về đại số, nghe tin về cuộc đấu và biết rằng Fior và Tartaglia đã giải được các phương trình bậc ba. Khám phá này chắc hẳn sẽ nâng cuốn sách của ông lên một tầm cao mới, do vậy Cardano đã thỉnh cầu Tartaglia tiết lộ các phương pháp của mình.
Cuối cùng thì Tartaglia cũng tiết lộ bí mật, và sau đó đã yêu cầu Cardano thề không được công bố. Nhưng phương pháp giải cũng đã xuất hiện trong Ars Magna, do đó Tartaglia đã buộc tội Cardano đạo văn. Tuy nhiên, Cardano đã xin lỗi và ông ta cũng tìm được một lý do chính đáng để chối quanh lòi hứa của mình. Học trò của Cardano, Lodovico Ferrari đã tìm được phương pháp giải phương trình bậc bốn, một khám phá đầy mới lạ và ấn tượng không kém, và Cardano muốn phương pháp ấy cũng xuất hiện trong cuốn sách của mình. Tuy nhiên, phương pháp của Ferrari cũng đòi hỏi biết nghiệm của một phương trình bậc ba có liên quan, do vậy Cardano không thể công bố công trình của Ferrari mà không công bố công trình của Tartaglia.
Sau đó, ông ta biết rằng Fior là học trò của Scipio del Ferro, người được đồn là đã giải được tất cả các loại phương trình bậc ba, nhưng chỉ truyền lại cách giải một loại cho Fior. Các bài báo không công bố của del Ferro lại thuộc quyền sở hữu của Annibale del Nave. Vì thế, năm 1543, Cardano và Ferrari đã đến Bologna để thuyết phục del Nave, và trong những bài báo ấy, họ đã tìm ra phương pháp giải cả ba loại phương trình bậc ba. Do đó, Cardano có thể nói một cách trung thực rằng ông ta đã công bố phương pháp của del Ferro, chứ không phải của Tartaglia. Tartaglia vẫn cảm thấy mình đã bị lừa bịp, và đã công bố một bài dài phê phán quyết liệt Cardano. Ferrari đã thách thức ông tham gia một cuộc tranh biện công khai và đã dễ dàng dành chiến thắng. Kể từ đó, Tartaglia đã không thể khôi phục danh tiếng của mình.
Chương 61 Được tổng hợp lại ở chương 12 trong cuốn: Ian Stewart, Toán học của cuộc sống (Mathematics of Life) , Profile, London, 2011.
Chương 71 Phải, tôi biết rằng đây là số nhiều của “die”, nhưng ngày nay tất cả mọi người đều sử dụng nó ở dạng số ít, và tôi đã từ bỏ việc chống lại xu hướng đó. Nó có thể còn tồi tệ hơn: ai đó vừa mới cẩn thận gửi cho tôi một email sử dụng “dice” cho số ít và “die” cho số nhiều.
2 Có nhiều ngụy biện trong lập luận của Pascal. Sai lầm chính nằm ở chỗ nó có thể áp dụng được cho bất kỳ thế lực siêu nhiên mang tính giả thuyết nào.
3 Định lý này khẳng định rằng dưới những điều kiện phù hợp (khá chung), tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên sẽ xấp xỉ phân bố chuẩn. Chính xác hơn, nếu ( x 1 ..., x n ) là một dãy các biến ngẫu nhiên phân bố đồng nhất và độc lập với nhau và đều có phân bố chuẩn, mỗi biến có kỳ vọng µ và phương sai σ 2 , thì định lý giới hạn trung tâm khẳng định rằng
sẽ hội tụ về một phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn σ khi n lớn tùy ý.
Chương 81 Hãy xét ba khối lượng liên tiếp, được đánh số n - 1, n , n + 1. Giả sử rằng ở thời điểm t chúng đã dịch chuyển được một khoảng, u n - 1 ( t ), u ( t ), u n + 1 ( t ) so với các vị trí ban đầu theo phương ngang. Áp dụng định luật hai Newton, gia tốc của mỗi vật sẽ tỉ lệ thuận với các lực tác dụng lên nó. Để đơn giản, giả sử rằng mỗi vật sẽ chuyển động được một khoảng cách rất nhỏ theo phương thẳng đứng. với một phép gần đúng rất tốt, lực mà vật n - 1 tác dụng lên vật n sẽ tỉ lệ với hiệu u n - 1 ( t ) - u ( t ) và tương tự lực mà vật n + 1 tác dụng lên vật n tỉ lệ thuận với u n + 1 ( t ) - u n ( t ). Cộng hai phương trình này với nhau, ta được lực tác dụng lên vật n tỉ lệ với u n - 1 ( t ) - 2 u n ( t ) + u n + 1 ( t ). Đó chính là hiệu giữa u n - 1 ( t ) - u n ( t ) và u n (t) - u n + 1 ( t ), và mỗi biểu thức trong số hai biểu thức trên cũng chính là hiệu giữa các vị trí của các vật liên tiếp. Do đó lực tác dụng lên vật n là một hiệu giữa các hiệu .
Bây giờ giả sử rằng các vật ở rất gần nhau. Trong giải tích, một hiệu - chia cho một hằng số thích hợp đủ nhỏ - là một gần đúng của đạo hàm. Hiệu của các hiệu là một xấp xỉ của đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm cấp hai. Trong giới hạn của một số vô cùng lớn các chất điểm, ở cách nhau một khoảng vô cùng nhỏ, lực tác dụng lên một điểm đã cho trên lò xo do đó sẽ tỉ lệ với ∂ 2 u / ∂ x 2 , với x là tọa độ không gian được đo dọc theo chiều dài của sợi dây. Theo định luật hai Newton, đại lượng này tỉ lệ với gia tốc lập một góc vuông với đường thẳng đó, mà gia tốc này chính là đạo hàm cấp hai theo thời gian ∂ 2 u /∂ t 2 . Đặt hằng số tỉ lệ là c 2 ta được:
với u(x,t ) là vị trí theo phương thẳng đứng tại điểm x trên dây ở thời điểm t .
2 Có thể xem hình động ở đây http://en.wikipedia.org/ wiki/Wave_equation
3 Viết dưới dạng ký hiệu, các nghiệm của phương trình có dạng
u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)
với f , g là hai hàm bất kỳ.
4 Hình động của một vài mode dao động chuẩn của một chiếc trống tròn có thể được tìm thấy tại http:// en.wikipedia.org/wiki/Vibrations_of_a_circular_drum
Hình động của trống tròn và hình chữ nhật tại: http://www.mobiusilearn.com/view/casestudies. aspx?id=2432
Chương 91. Giả sử rằng u(x, t)=e -n 2 αt sin nx . Khi đó:
Bởi vậy u(x,t ) thỏa mãn phương trình nhiệt.
2 Đây là dạng mã hóa JFIF sử dụng cho web, mã EXIF cho camera, cũng bao gồm các “metadata” mô tả các cài đặt của camera, như là ngày tháng, thời gian và độ phơi sáng.
Chương 101 http://www.nasa.gov/topics/earth/features/2010- warmest-year.html
Chương 111 Donald McDonald. How does a cat fall on its feet?, New Scientist 7 no. 189 (1960) 1647-9. Xem thêm http:// en.wikipedia.org/wiki/Cat_righting_reflex
2 Áp dụng toán tử rot cho cả hai vế của phương trình thứ ba ta được:
Giải tích vectơ cho ta biết rằng vế trái của phương trình này có thể rút gọn được thành:
∇ × ∇ × E = ∇(∇. E ) - ∇ 2 E ) = - ∇ 2 E
trong đó ta cũng đã sử dụng phương trình thứ nhất. Ở đây ∇ 2 là toán tử Laplace. Dùng phương trình thứ tư, vế phải trở thành
Khử hai dấu âm ở hai vế và nhân cả hai vế với c2 ta được phương trình sóng cho E :
Bằng cách tính toán tương tự ta cũng thu được phương trình cho H.
Chương 121 Cụ thể
với SA, SB là entropy ở trạng thái A và B .
2 Nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học thực tế là một bất đẳng thức , chứ không phải một phương trình. Tôi đã đưa nguyên lý thứ hai vào cuốn sách này bởi vì vai trò trung tâm của nó trong khoa học đòi hỏi phải như thế. Không thể phủ nhận rằng nó là một công thức toán học, một cách giải thích phóng khoáng của thuật ngữ “phương trình” đã được phổ biến rộng rãi bên ngoài các tài liệu khoa học kỹ thuật. Công thức này ám chỉ tới chú thích 1 trong chương này, sử dụng một tích phân, nó là một phương trình đích thực. Nó xác định độ biến thiên của entropy, nhưng nguyên lý thứ hai cho ta biết đặc điểm quan trọng nhất của nó là gì.
3 Chuyển động Brown đã được dự đoán bởi nhà sinh lý học Jan Ingenhousz, người đã thấy chính hiện tượng này khi nhìn bụi than đá trôi nổi trên bề mặt rượu, nhưng ông không đề xuất lý thuyết nào để giải thích những gì đã thấy.
Chương 131 Tại phòng thí nghiệm quốc gia Gran Sasso, Italia, đã có một máy phát hiện hạt tên là OPERA (viết tắt của Oscillation project with emulsion-tracking apparatus). Sau hơn hai năm nó đã theo dấu 16.000 hạt neutrino bắn ra từ phía CERN, Trung tâm nghiên cứu hạt nhân châu Âu đặt tại Geneva. Các hạt neutrino đều là hạt hạ nguyên tử trung hòa về điện với khối lượng rất nhỏ, và chúng có thể dễ dàng đi xuyên qua vật chất thông thường.
Những kết quả thu được rất khó hiểu: trung bình các hạt neutrino đi được quãng đường dài 730km trong vòng 60 nano giây (một phần tỉ của một giây), nhanh hơn so với cả khi chúng đi với tốc độ ánh sáng. Các phép đo có độ chính xác tới 10 nano giây, nhưng vẫn còn khả năng mắc sai số hệ thống trong cách tính toán thời gian và giải thích, đó là những việc cực kỳ phức tạp.
Các kết quả đã được post lên Internet: 'Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGS beam' by the OPERA Collaboration, http://arxiv. org/abs/1109.4897
Bài báo này không khẳng định là nó bác bỏ thuyết tương đối: nó chỉ thuần túy giới thiệu các quan sát của nó như những gì mà cả nhóm nghiên cứu đã không thể giải thích với những hiểu biết vật lý thông thường. Một bản báo cáo không mang tính kỹ thuật có thể được tìm thấy tại: http://www.nature.com/news/2011/110922/full/news.2011.554.html
Một nguồn sai số hệ thống khả dĩ, liên quan tới những khác biệt về lực hấp dẫn giữa hai phòng thí nghiệm, đã được đề xuất tại http://www.nature.com/news/2011/111005/full/ news.2011.575.html nhưng nhóm thực nghiệm OPERA không đồng ý với đề xuất này.
Hầu hết các nhà vật lý nghĩ rằng, mặc dù các nhà nghiên cứu đã làm việc với sự cẩn trọng rất lớn, nhưng vẫn có thể có sai số hệ thống nào đó. Đặc biệt, những quan sát trước đó về neutrino từ một sao siêu mới có vẻ như mâu thuẫn với những quan sát mới nói trên. Giải pháp của vấn đề gây tranh cãi này đòi hỏi phải có những thí nghiệm độc lập, và phải mất hằng năm. Các nhà vật lý lý thuyết đều đã sẵn sàng phân tích các giải thích tiềm năng từ những mở rộng nhỏ đã biết của mô hình chuẩn trong vật lý hạt tới một vật lý mới, xa lạ, trong đó vũ trụ có nhiều hơn bốn chiều thông thường. Khi bạn đang đọc những dòng này, câu chuyện có lẽ đã được bắt đầu rồi.
2 Một giải thích thấu đáo đã được Terence Tao đăng trên trang web của ông: http://terrytao.wordpress.com/2007/12/28/einsteins-derivation-of-emc2/
Cách thức rút ra phương trình trên bao gồm năm bước
(a) Mô tả cách thức thay đổi cho các tọa độ không gian và thời gian khi hệ quy chiếu thay đổi.
(b) Sử dụng mô tả này để tìm ra cách biến đổi về tần số của photon khi hệ quy chiếu thay đổi.
(c) Sử dụng định luật Planck để tìm ra cách biến đổi của năng lượng và động lượng của photon.
(d) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và động lượng để tìm ra cách biến đổi của năng lượng và động lượng của một vật chuyển động.
(e) Xác định giá trị của một hằng số tùy ý khác trong tính toán bằng cách so sánh các kết quả thu được với vật lý Newton khi vận tốc của vật nhỏ.
3 Ian Stewart and Jack Cohen, Những bịa đặt của thực tại (Figments of Reality) , Cambridge University Press, Cambridge 1997, page 37.
4 http://en.wikipedia.org/wiki/Mass%E2%80%93energy_ equivalence
5 Một số ít thì lại nghĩ khác. Henry Courten, người phân tích lại những bức ảnh của kỳ nhật thực năm 1970, đã thông báo về sự tồn tại của ít nhất bảy thiên thể cực nhỏ ở gần các quỹ đạo xung quanh Mặt trời - có lẽ là bằng chứng của một vành đai tiểu hành tinh mỏng. Nhưng không có bằng chứng thuyết phục nào đã được tìm thấy, và chúng có lẽ phải có bề rộng nhỏ hơn 60km. Các thiên thể được nhìn thấy trong các bức ảnh có lẽ chỉ là các sao chổi và các tiểu hành tinh rất nhỏ đang đi qua trên các quỹ đạo lệch tâm của chúng. Cho dù chúng có là gì đi chăng nữa thì cũng không phải là Vulcan.
6 Năng lượng chân không trong một cm khối trong không gian trống rỗng ưóc tính vào khoảng 10-15J. Dựa trên điện động lực học lượng tử, về mặt lý thuyết, nó có thể lên tới 10107J, sai lệch lên tới 10122. http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_energy
7 Công trình của Penrose được thông báo trong: Paul Davies. Trí tuệ của Chúa (The Mind of God) , Simon & Schuster, New York 1992.
8 Joel Smoller and Blake Temple. Tham số gần đúng của giải pháp khai triển hàm sóng từ phương trình của Einstein gây ra sự tăng tốc bất thường trong mô hình chuẩn của vũ trụ học. http://arxiv.org/abs/0901.1639
9 R.S. MacKay and C.P. Rourke. Mô hình mới của vũ trụ (A new paradigm for the universe) , preprint, University of Warwick 2011. Chi tiết hơn có thể xem các bài báo được liệt kê tại http://msp.warwick.ac.uk/~cpr/paradigm/
Chương 141 Cách giải thích Copenhagen thường được cho là xuất hiện sau những thảo luận giữa Niels Bohr, Werner Heisenberg, Max Born và một số người khác vào giữa những năm 20 của thế kỷ trước. Nó có tên gọi như thế bởi vì Bohr là người Đan Mạch, nhưng không có nhà vật lý nào liên quan lại sử dụng thuật ngữ ấy vào thời đó. Don Howard đã đề xuất cách gọi tên này, và quan điểm mà nó tóm lược, xuất hiện đầu tiên vào những năm 1950, có lẽ là qua Heisenberg. Xem thêm D. Howard. Ai đã phát minh ra “Cách giải thích Copenhagen" (Who Invented the “Copenhagen Interpretation"? A Study in Mythology ), Philosophy of Science 71 (2004) 669-682.
2 Con mèo Harlequin thường được quan sát trong một chồng chập các trạng thái “ngủ” và “ngáy”, nhưng điều đó có lẽ không quan trọng.
3 Hai tiểu thuyết khoa học viễn tưởng về đề tài này là Người đàn ông trong tòa tháp cao (The Man in the High Castle) của Philip K. Dick và Giấc mơ sắt (The Iron Dream) của Norman Spinrad. Cuốn SS-GB của nhà viết truyện trinh thám Len Deighton cũng đặt trong một nước Anh giả tưởng bị bọn phát xít cai trị.
Chương 151 Giả sử rằng tôi tung một quân xúc xắc (xem Chú thích 1 của Chương 7), và gán các ký hiệu a, b, c như sau:
a quân xúc xắc cho kết quả 1, 2, hay 3.
b quân xúc xắc cho kết quả 4 hay 5
c quân xúc xắc cho kết quả 6
Ký hiệu a xảy ra với xác suất 1/2, ký hiệu b với xác suất 1/3, và ký hiệu c với xác suất 1/6. Khi đó công thức của tôi, cho dù nó là gì đi nữa, sẽ gán một hàm lượng thông tin H ( , , ).
Tuy nhiên, tôi có thể nghĩ về thí nghiệm này theo một hướng khác. Đầu tiên tôi quyết định xem quân xúc xắc có cho kết quả nhỏ hơn hoặc bằng 3 hay lớn hơn. Gọi các xác suất này là q và r thì, q con xúc xắc cho kết quả 1, 2, hoặc 3 r con xúc xắc cho kết quả 4, 5, hoặc 6
Bây giờ q có xác suất là 1/2 và r cũng có xác suất là 1/2. Nó truyền tải thông tin H ( , ) . Trường hợp q chính là trường hợp a đầu tiên của tôi, còn r là b và c . Tôi có thể chia trường hợp r thành b và c , và xác suất của chúng là và nếu r xảy ra . Nếu bây giờ chúng ta chỉ xét trường hợp này, thông tin truyền tải bởi bất kỳ ký hiệu nào, b hay c, cũng là . Shannon bây giờ nhấn mạnh rằng thông tin ban đầu phải liên hệ với thông tin trong những trường hợp nhỏ này như sau:
Xem hình 61.
Hình 61 Tổ hợp các lựa chọn theo các cách khác nhau. Thông tin cần phải như nhau trong mỗi trường hợp.
Thừa số 1/2 trước hàm H thứ hai ở vế phải phương trình trên xuất hiện là do lựa chọn thứ hai xảy ra chỉ trong một nửa thời gian, cụ thể là khi r đã được chọn sẵn ở bước đầu tiên. Không có thừa số nào như vậy ở trước hàm H ngay sau dấu bằng, bởi vì nó ngụ ý một lựa chọn luôn được thực hiện - giữa q và r .
2 Xem chương 2 của cuốn: C.E. Shannon and W. Weaver. Lý thuyết toán học của thông tin (The Mathematical Theory of Communication) , University of Illinois Press, Urbana 1964.
Chương 161 Nếu số lượng dân cư x t tương đối nhỏ, tức là rất gần với 0, thì 1 - x t sẽ gần với 1. Như vậy, thế hệ tiếp sau sẽ có số lượng gần với k x t , tức là lớn gấp k lần số lượng hiện tại. Khi số lượng dân số tăng, thừa số phụ 1 - x t sẽ khiến tỉ lệ tăng trưởng thực tế nhỏ đi, và dần về 0 khi số lượng dân cư tiến gần tới giá trị cực đại lý thuyết của nó.
2 R.F. Costantino, R.A. Desharnais, J.M. Cushing, and B. Dennis. Chaotic dynamics in an insectpopulation , Science 275 (1997) 389-391.
3 J. Huisman and F.J. Weissing. Biopersity of plankton by species oscillations and chaos , Nature 402 (1999) 407-410.
4 E. Benincà, J. Huisman, R. Heerkloss, K.D. Jỏhnk, P. Branco, E.H. Van Nes, M. Scheffer, and S.P. Ellner. Chaos in a long-term experiment with a plankton community , Nature 451 (2008) 822-825.
Chương 171 Giá trị của một quyền chọn mua là
C(s, t) = N(d 1 )S - N(d 2 )Ke -r(T - t)
với
Giá trị tương ứng của một quyền chọn bán là
với N ( d j ) là hàm phân bố tích lũy của phân bố chuẩn thông thường, j=1, 2 , và T - t là thời gian đến kỳ hạn.
2 Chính xác hơn, một giải thưởng Sveriges Risbank về Khoa học kinh tế để tưởng nhớ Alfred Nobel.
3 M. Poovey. Can numbers ensure honesty? Unrealistic expectations and the U.S.accounting scandal , Notices of the American Mathematical Society 50 (2003) 27-35.
4 A.G. Haldane and R.M. May. Systemic risk in banking ecosystems , Nature 469 (2011) 351-355