Tiêu chuẩn Kelly - dưới chiếc mui xe

Phương pháp cá cược Martingale cũng như những phương pháp khác đều ủng hộ người chơi dù nhà cái có lợi thế hay không. Nhưng phương pháp của Kelly thì không như vậy. Khi lợi thế tính toán được là một con số âm hoặc bằng không (trường hợp này hầu như luôn xảy ra trong các sòng bài), phương pháp Kelly khuyên ta không nên đặt cược nữa.

Có thể, bạn sẽ nói rằng, đó chính là sự khác biệt giữa tưởng tượng và thực tế. Thực tế là bạn đừng trông mong gì sẽ kiếm được tiền nếu như hôm ấy không phải là một ngày may mắn của bạn. Sẽ tốt hơn nhiều nếu sự việc diễn ra theo hướng ngược lại nhưng thực sự, điều đó là không thể.

Trong một tình thế cá cược thuận lợi, phương pháp Kelly hứa hẹn một lợi nhuận tối đa và cam kết bảo vệ bạn khỏi phá sản. Những mục tiêu đó nghe có vẻ đối lập nhau. Thật không uổng phí nếu được xem xét phương pháp Kelly hoạt động thế nào trong môi trường một sòng bạc.

Phương pháp Kelly giúp con bạc tránh được khả năng phá sản theo một cách thức thật đơn giản. Đó là phương pháp cược "dựa vào tỷ lệ". Điều này có nghĩa là mỗi khoản tiền đặt cược sẽ được tính toán dựa trên tổng số tiền hiện tại mà bạn có. Vì đặt cược theo một tỷ lệ cố định dựa trên số tiền hiện có nên bạn sẽ chẳng bao giờ sạch túi cả. Khi bạn thua liên tục như một sự thật đã được biết trước khi chơi các trò chơi nặng tính may rủi, số tiền cược sẽ giảm xuống tương ứng với "hầu bao" đang vơi dần đi của bạn.

Các sòng bạc cũng như trường đua đều có quy định một mức đặt cược tối thiểu cho người chơi. Một vấn đề tiềm ẩn khi áp dụng phương pháp Kelly chính là trường hợp bạn gặp vận xui và thua liên tục khiến tài khoản của bạn giảm dần làm cho tỉ lệ cược theo phương pháp Kelly hạ xuống thấp hơn mức cược tối thiểu. Trên thực tế, vấn đề này hiếm khi xảy ra. Điều này chỉ có ý nghĩa rằng số vốn ban đầu của bạn phải thật sự lớn hơn khoản tiền cược nhỏ nhất, khi đó, khả năng xảy ra trường hợp nêu trên là không đáng kể.

Sự gia tăng của cải theo quy luật lũy thừa trong phương pháp Kelly cũng là hệ quả của quy trình đặt cược theo tỷ lệ. Khi số tiền có được nhiều dần, bạn cũng đặt mức cược lớn hơn. Có thể là bạn sẽ trải qua những giai đoạn khó khăn nhưng về lâu dài, bạn sẽ thắng nhiều hơn là thua. Số tiền thắng cược lại sẽ dùng để đặt cược.

Hãy tưởng tượng rằng khi đang đánh cược năm ăn năm thua trong trò sấp ngửa mà bạn biết được khả năng xuất hiện mặt hình hay chữ là không như nhau với 55% cơ hội xuất hiện mặt hình. Đương nhiên, lần nào bạn cũng sẽ đặt cược cho mặt hình.

Nhưng bản thân điều đó cũng không thể đảm bảo sẽ có lời. Sau đây là một biểu đồ mô tả kết quả của bốn phương pháp quản lý tiền. Tất cả đều được thực hiện dựa trên cùng một chuỗi 500 lần tung đồng xu.

"Phương pháp" đơn giản nhất chính là đặt một khoản tiền cược cố định. Ở đây, khoản cược bắt đầu ở mức 10% tổng số vốn hiện có và được giữ nguyên trong các lần sau. Đường mô tả tài sản của một người đánh bạc theo một khoản tiền cược cố định đi lên một cách chậm chạp. Tuy nhiên, chính sách này cũng tiềm ẩm nguy cơ thất bại. Chỉ cần một ngày đen đủi, con bạc này sẽ dễ phá sản.

Trong ba phương pháp còn lại, tiền cược thay đổi tùy thuộc vào số tiền vốn có thay đổi hay không. Một phương pháp quá khích là cược tất cả. Bạn cược tất cả số tiền bạn có trong lần tung đồng xu đầu tiên. Nếu bạn thắng, cũng cược tất cả trong lần tung thứ hai. Và bạn tiếp tục chơi lâu nhất có thể.

Năm 2004, có một gã từ Luân Đôn tên là Ashley Revell đã bán tất cả tài sản của mình, kể cả quần áo và cược tất cả số tài sản trị giá 135.000 đô la của mình trong trò chơi bánh xe roulette tại khách sạn Plaza, Las Vegas. Revell mặc một chiếc áo vét dạ tiệc màu đen và đặt cược cho quân đỏ- Anh ta thắng. Anh ta đã chọn lựa giữa việc có được gấp đôi hoặc là không còn gì cả.

Revell đã chơi một trò mà anh ta không có nhiều lợi thế. Lẽ ra anh ta nên hành động cẩn trọng hơn. Chính sách "được ăn cả, ngã về không" như thế chỉ sẽ tác dụng cho đến khi nào bạn thua cuộc.

Trong biểu đồ trên, đường thể hiện của phương pháp "được ăn cả, ngã về không" này chỉ tăng lên một chút tại điểm khởi đầu. Khả năng hai lần tung đồng xu đầu tiên là mặt hình sẽ giúp người chơi nhân tài sản mình lên bốn lần. Anh ta sẽ tiếp tục chơi lần thứ ba, mặt chữ và phá sản. Sau đó, tài sản còn lại của anh ta chỉ là một con số không.

Thoạt đầu, nhìn vào biểu đồ, có vẻ như phương pháp Martingale hoạt động hiệu quả. Độ dốc tổng quát của dường Martingale cho thấy qua hàng trăm phép thử, phương pháp này hiệu quả hơn các phương pháp khác. Những đoạn dốc xuống nguy hiểm và đột ngột trên đường hiển thị nói lên một câu chuyện hoàn toàn khác. Những đoạn dốc chính là những khi vận xui đeo bám bạn. Người chơi theo phương pháp Martingale phải nhân đôi tiền cược lên đến khi nào anh ta bắt đầu thua cược. Điều này có thể dẫn đến những khoản lỗ leo thang nhanh chóng.

Những vệt xui như vậy tạo nên vết lõm không đáng kể cho những đường biểu thị của phương pháp khác. Đối với những người chơi theo phương pháp Martingale, vận xui là điều khó tránh khỏi. Trong mô phỏng này, người chơi áp dụng phương pháp trên đã thua sạch sau lần cược thứ 19. Và đường thể hiện tiếp nối sau đó hoàn toàn không còn liên quan.

Còn đường thể hiện phương pháp Kelly mô tả rõ rệt hai xu thế. Hãy chú ý rằng xu hướng chung của hai phương pháp tiền cược cố định và Martingale là đường thẳng trong khi đường thể hiện của phương pháp Kelly là một đường cong tăng dần lên. Và cũng lưu ý rằng, đường cong Kelly rất dễ dao động hơn so với những đường khác.

Tài sản của những người chơi theo phương pháp tiền cược cố định và Martingale có xu hướng tăng như một dãy số đại số, về cơ bản, những người chơi này giống như đang làm việc ăn lương theo giờ. Khi có nhiều tài sản hơn họ cũng không đặt cược nhiều hơn. Họ đang ngồi trên một đống tiền mà lẽ ra có thể mang đi sử dụng được.

So với các phương pháp trên, tài sản của người chơi theo phương pháp Kelly tăng lên theo cấp số nhân bởi vì đồng tiền vốn được sử dụng một cách tối ưu. Nhưng cũng phải mất một khoảng thời gian thì chiến lược Kelly mới gặt hái kết quả tốt đẹp. Trong phía nửa bên trái của biểu đồ, tương đương với 250 lần cược, đường cong của người chơi theo phương pháp Kelly dường như ôm sát lấy đường cong của phương pháp tiền cược cố định. Và trong quãng thời gian đó, người chơi theo tiền cược cố định lúc nào cũng có nhiều tài sản hơn cả. Và rồi, phương pháp Kelly "cất cánh". Đường cong đột ngột vút lên cao, bỏ xa hai đường cong khác. Trong mô phỏng đặc biệt này, kể từ phép thử thứ 74 trong tổng số 500 phép thử, tài sản của người chơi bằng phương pháp Kelly đã tăng lên so với mức ban đầu.

Phương pháp Kelly không phải là phương pháp duy nhất áp dụng cho cách thức đánh cược theo tỷ lệ. Có hàng trăm hàng ngàn những phương pháp như thế. Ngay chính bạn cũng có thể cược 1%, 10% hay thậm chí 99% số tiền bạn có. Bạn cũng có thể cược theo công thức tỷ lệ rủi ro bình phương chia cho số cuối cùng xuất hiện lũy thừa ba rồi nhân với số tiền hiện có. Như vậy, có gì đặc biệt ở phương pháp do Kelly sáng chế? Câu trả lời chính là phương pháp Kelly giúp gia tăng tài sản nhanh hơn bất kỳ phương pháp nào khác.

Bên dưới là một biểu đồ so sánh phương pháp Kelly với hai phương pháp đánh giá tỷ lệ khác. Biểu đồ trên cũng dựa vào dữ liệu cũng 500 lần tung đồng xu ngẫu nhiên. Với 1 đô la ban đầu, người áp dụng phương pháp Kelly đã kiếm được 74,46 đô la.

Phương pháp "đặt cược thấp" là một phương pháp đặt cược theo tỷ lệ mà người chơi chỉ cược một khoản tiền đúng bằng phân nửa so với phương pháp Kelly. Tài sản của người chơi theo phương pháp này tăng ổn định hơn so với người áp dụng phương pháp Kelly. Đó thường được xem là một điều tốt. Nhưng, sau cùng, người đặt cược thấp kết thúc với một lượng tài sản thấp hơn nhiều (16,07 đô la).

Còn phương pháp thứ hai, "đặt cược cao" là một phương pháp đặt cược theo tỷ lệ mà người chơi chỉ cược một khoản tiền đúng bằng hai lần so với phương pháp Kelly. Trong mô phỏng này, người áp dụng đạt được 35,88 đô la. "Hai lần Kelly" là một phương pháp không đáng tin cậy. Nó hoạt động tốt nếu người chơi liên tục gặp may, nhưng những thành quả này cũng chỉ là nhất thời. Hãy chú ý, lúc đầu, phương pháp đặt cược cao thành công hơn các phương pháp còn lại (chú ý phần đường biểu diễn có hình như một quả núi lửa ở phía dưới, bên trái). sau đó, tài sản của người đặt cược cao rơi xuống mức gần bằng không và dừng lại tại mức ấy trong một thời gian dài sau đó. Nếu mô phỏng trên cứ tiếp tục đến vô hạn, tài sản của người đặt cược "Hai lần Kelly" sẽ trở về mức một đô la ban đầu hoặc còn thấp hơn và vĩnh viễn như thế.

Điều đó còn có thể tồi tệ hơn. Đặt cược quá cao có thể dẫn đến phá sản thực sự, cho dù có áp dụng phương pháp cược theo tỷ lệ nào hay không. Dù không được chính thức khảo sát, nhưng đường biểu diễn một người đưa ra mức cược gấp bốn lần so với phương pháp Kelly (tức 40% số tiền hiện có cho một lần cược) cũng xuất hiện trong sơ đồ, dù dường như nó vô hình. Lý do là, nó ôm sát lấy đường giới hạn thấp nhất. những người cược theo cách thức này sẽ thu được 0,00000038 đô la từ 1 đô la vốn sau 500 lần tung đồng xu. Nếu tiếp tục cược, tài sản sẽ không ngừng giảm mạnh, xuống mức thấp chứa từng có, bằng một phần triệu tỷ của một xu.

Nói một cách nghiêm túc, những người cược theo tỷ lệ cao luôn kết thúc cuộc chơi mà chỉ còn lại một phần nhỏ của một xu (giả định rằng số tiền có thể chia nhỏ đến vô hạn và không quy định khoản cược thấp nhất). Phương pháp này không đáng để người chơi tiếp tục quan tâm nữa.

Công cụ được áp dụng trong phương pháp Kelly là "luật số lớn", Trong một chuyên luận về xác suất viết năm 1713, nhà toán học người Thụy Sĩ, Jakob Bernoulli đã giải quyết được một quy luật khiến nhiều tay cờ bạc (và cả những nhà đầu tư) đã hiểu lầm từ trước đến nay.

Điều này cũng liên quan tới khái niệm về trông đợi. Khi chơi với một bánh xe roulette cân bằng hoàn hảo, cược quân đỏ có 18/38 khả năng thắng. Như thế có thể chắc rằng cứ 38 lần chơi thì quân đỏ sẽ xuất hiện 18 lần không? Không, dĩ nhiên là không. (Ai có thể đứng ra "đảm bảo"?) Hay, có phải nếu bánh xe vừa mới quay ra quân đen thì sẽ đến lượt quân đỏ ra không? không (mặc đù nhiều con bạc vẫn thường nghĩ như vậy).

Vậy, khi đó, sự mong đợi có nghĩa là gì? Hầu hết những người nỗ lực chuyển tải ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ phổ thông đều đi đến một cụm từ chung: "trong dài hạn". Người ta sẽ nói những thứ đại loại như: "Quân đỏ sẽ xuất hiện theo tỷ lệ 18/38 trong dài hạn."

Đó chỉ đơn thuần là một sự thổi phồng. Bất kể bạn có quay bánh xe bao nhiêu lần đi nữa, không có gì bảo đảm rằng sẽ có được quân đỏ như mong đợi cả.

Thế bạn có thể kết luận rằng nếu bạn quay bánh xe 38 nghìn tỷ lần, thì đỏ sẽ xuất hiện 18 nghìn tỷ lần? Không. Nếu thế, thì liệu số lần xuất hiện quân đỏ có gần bằng 18 nghìn tỷ hay không? Điều này còn tùy thuộc vào bạn muốn ám chỉ gì ở hai chữ ''gần bằng". Nếu ý của bạn là "Nó nằm trong khoảng từ 17.999.999.999.995 đến 18.000.000.000.005?", câu trả lời cũng gần như chắn chắn là không. Trên thực tế, sự khác nhau giữa con số thật và con số được mong đợi quân đỏ xuất hiện có xu hướng tăng khi số lần quay tăng.

Luật số lớn của Jakob Bernoulli (chỉ) nói rằng tỷ lệ % xuất hiện quân đỏ thực tế có xu hướng tiến gần đến tỷ lệ mong đợi khi số lần quay tăng. Sau hàng triệu triệu lần quay, tỷ lệ xuất hiện quân đỏ sẽ gần bằng 18/38 hay 47,37 %.

Nhiều thế hệ cờ bạc chưa từng biết đến toán học đã khám phá ra rằng kết quả này ít có giá trị thực tiễn hơn những gì họ mong đợi.

Nó không giúp ích gì cho việc kiếm lợi từ những khoản cược có mong đợi âm.

Có thể bạn nghĩ rằng, miễn là bạn đủ may mắn để chọn được một khoản cược có mong đợi dương, quy luật số lớn sẽ đảm bảo bạn luôn gặp thuận lợi trong dài hạn. Không nhất thiết là thế. Như chúng ta cũng thấy, người chơi có thể đã phá sản trong ngắn hạn. Thực tế là thậm chí với những tay chơi biết cách áp dụng phương pháp cược theo tỷ lệ, họ cũng vẫn thua cháy túi.

Shannon đã viện dẫn luật số lớn trong thuyết thông tin. Trong một kênh thông tin ồn ào với các bit đều không chắc chắn thì một thứ có thể chắc chắn là: đánh giá trên tỷ lệ.

Kelly sử dụng một phương pháp tương tự để kiếm tiền từ những khoản tiền cược có mong đợi dương. Phương pháp Kelly quản lý tiền bạc, giúp người chơi trụ lại đủ lâu để luật số lớn bắt đầu phát huy tác dụng.