Vấn đề với Markowitz

Việc khuyên các nhà đầu tư tối đa hóa số trung bình nhân có thể gây ra một sự phản ứng chậm trễ. số trung bình nhân của lợi nhuận không gì khác hơn là "lợi nhuận trên vốn đầu tư kép" - đó cũng là phiếu điểm thường thấy ở Phố Wall và là đề tài được nhiều người chú ý.

Một đồng nghiệp của Latané tại trường Đại học North Carolina là Richard W. McEnally cho rằng "Ý tưởng chúng ta nên cân nhắc đầu tư sao cho tối đa hóa tốc độ tăng trưởng của danh mục đầu tư nghe có vẻ đáng ca ngợi, như lời các nhà kinh tế học thường nói, nhưng lại tỏ ra khó và không thể áp dụng trong thực tế vì nó đòi hỏi phải biết trước những gì xảy ra trong tương lai xa".

Một vài ví dụ sẽ chỉ ra nguyên tắc số trung bình nhân hoạt động như thế nào. Thử xem xét một trường hợp đơn giản: bạn có hai lựa chọn cho số tiền đầu tư của mình, một tài khoản tiết kiệm lãi suất 3% và một tài khoản tiết kiệm lãi suất 4%. Cả hai tài khoản đều được bảo đảm bởi FDIC. Giả sử không có rủi ro nên lợi nhuận trung bình cộng và lợi nhuận trung bình nhân của mỗi tài khoản đều bằng nhau. Cả lý thuyết của Kelly và Markowitz đều cho rằng nên gửi tiền vào tài khoản lãi suất 4%.

Lựa chọn sẽ không dễ dàng như vậy nếu như có thêm một yếu tố ngẫu nhiên vào. Một cổ phiếu công nghệ nóng có thể có lợi nhuận trung bình cao hơn một cổ phiếu blue-chip tẻ nhạt, nhưng hiển nhiên nó sẽ có tính bất ổn cao hơn, điều này làm cho số trung bình nhân của nó thấp hơn. Vậy có tốt hơn không nếu bạn chọn cổ phiếu công nghệ?

Đây là loại câu hỏi mà nguyên lý Kelly có thể trả lời một cách tiềm tàng. Tôi nói "tiềm tàng" bởi vì không ai thực sự biết các khả năng tiềm ẩn trong đầu tư chứng khoán.

Điều này không ngăn cản được việc các nhà phân tích lập ra các chỉ tiêu và mô hình toán học. Một mô hình toán học sẽ cố gắng biến một tình huống thực tế thành một trò chơi may rủi.

Hãy tưởng tượng bạn đang xem xét đầu tư vào ba loại cổ phiếu. Bạn nghiên cứu và lập ra một mô hình toán học về lợi nhuận của cổ phiếu sau một năm. về nguyên tắc, bạn có thể xây dựng một bánh xe số với phân phối xác suất như một cổ phiếu. Chia vành bánh xe ra đúng bằng số ô mà bạn cần. Đánh số trên các ô, biểu thị giá trị sau một năm của một đồng đô la mà bạn đầu tư. Nếu mô hình của bạn tốt, chơi trò quay bánh xe này giống như đầu tư vào cổ phiếu vậy.

Bạn xây dựng bánh xe số cho mỗi cổ phiếu và chúng trông như thế này:

Giả sử bạn chỉ có thể đặt tất cả tiền mà mình có vào một bánh xe. Vậy, bánh xe nào tốt nhất? Thật khó để trả lời. Điều đó giải thích sự hữu ích khi tính được lợi nhuận "trung bình". Vì thỉnh thoảng vẫn xảy ra trường hợp như thế này: lợi nhuận trung bình cộng lớn hơn, mang lại cho bạn những lợi nhuận kếch xù, trong khi đó, số trung binh nhân lại chôn vùi bạn trong một đống giấy phạt.

Bánh xe thứ ba có số trung bình cộng cao nhất. Còn bánh xe thứ nhất có số trung bình nhân cao nhất. Giả sử ba bánh xe này là ba lựa chọn duy nhất, và bạn buộc phải chọn một trong ba, theo nguyên lý Kelly, bạn sẽ đặt tiền vào bánh xe thứ nhất.

Theo nguyên lý Kelly, bánh xe tệ nhất là bánh xe thứ hai. Đó là vì một trong những kết cục của nó bằng 0. Với mỗi lần quay bánh xe này, bạn có nguy cơ bị mất tất cả. Mọi "nhà đầu tư" dài hạn đặt tiền vào bánh xe thứ hai cuối cùng đều phải phá sản. số trung bình nhân của bánh xe thứ hai bằng 0.

Còn phân tích trung bình - phương sai thì sao? Để trả lời câu hỏi này, bạn phải tính được phương sai lợi nhuận của các bánh xe số. Vấn đề sẽ đơn giản hơn với một gợi ý: phương sai của các bánh xe số tăng dần từ trái sang phải. Lợi nhuận trung bình cộng cũng vậy. Và như thế, theo lý thuyết của Markowitz, ta không thể chọn một trong ba bánh xe số này vì cả ba đều là những cơ hội ngang bằng nhau. Một nhà đầu tư mạo hiểm mong muốn lợi nhuận cao nhất có thể chọn bánh xe số thứ ba. Một nhà đầu tư ngại rủi ro, sẵn lòng hy sinh lợi nhuận để có được sự chắc chắn, có thể chọn bánh xe thứ nhất. Còn bánh xe ở giữa dành cho những người trung lập.

Hầu như ai cũng đồng ý rằng bánh xe ở giữa chứa nhiều rủi ro nhất vì chỉ một mình nó có nguy cơ làm cho ta trắng tay. Tuy nhiên, bánh xe này lại có phương sai thấp hơn bánh xe thứ ba vì các kết cuộc của nó ít phân tán hơn. Đây là một ví dụ cho thấy rằng phương sai không phải là một đại lượng tốt để do lường rủi ro.

Một điểm chung giữa phương pháp của Markowitz và phương pháp Kelly là cả hai đều đánh giá cao sự đa dạng hóa đầu tư. Một tay cá cược đua ngựa "đa dạng hóa" bằng cách đặt cược lên tất cả các con ngựa sẽ có số trung bình nhân cao hơn một người đặt cược mọi thứ vào một con ngựa duy nhất (và có nguy cơ mất tất cả). Tương tự như vậy đối với những người da dạng hóa đầu tư bằng cách mua nhiều cổ phiếu khác nhau.

--oOo----

Có hai cách để một người đầu cơ áp dụng luật số lớn vào thực tế. John Kelly đề cập đến cả hai cách này trong bài báo của ông. Trong đoạn trích viết về giới tính thế kỷ XX, ông mô tả một tay cờ bạc, kẻ được vợ cho phép mang một đô la đi đánh bạc mỗi tuần. Hắn không được phép dùng tiền thắng bạc của các tuần trước để đặt cược lại.

Vậy thì con bạc này chẳng cần dùng tiêu chuẩn Kelly làm gì. Tốt hơn, hắn sẽ chọn ván bài có số trung bình cộng cao nhất. Lí do là tiền thắng cược của tay bạc sợ vợ này không được sử dụng lại, đơn giản, chúng sẽ được trữ lại.

Tốt nhất là tay bạc này sẽ lựa chọn bánh xe thứ ba nói trên, với số trung bình cộng lớn nhất (1,75 đô la). Theo xấp xỉ bằng với dự đoán. Và tay bạc này sẽ có 52 x 1,75 đô la = 91 đô la vào cuối năm (và tiền lời vào khoảng 39 đô la khi ta trừ đi 52 đô la tiền đặt cược).

Nếu tay bạc này chọn bánh xe thứ nhất, anh ta sẽ kiếm được khoảng 78 đô la ( lời 26 đô la và nếu chọn bánh xe số thứ hai, anh ta kiếm được khoảng 87 đô la (lời 35 đô la).

Tiêu chuẩn Kelly chỉ có ý nghĩa khi tiền lại được dùng để tái đầu tư. Giả sử có một tay bạc bắt đầu đặt cược với 1 đô la và sử dụng lại tiền thắng bạc của mình một lần một tuần (anh ta không đổ thêm đồng nào vào và cũng không rút 1 đồng nào ra). Nếu tay bạc này đặt tiền vào bánh xe số thứ nhất, anh ta có thể trông đợi rằng tài sản của mình sẽ tăng lên 1,41 đô la mỗi tuần. Sau 52 tuần, tài sản của anh ta sẽ tăng lên một tượng là:

(1,41) 52 = 67.108.864 đô la

Tay bạc này đã biến 1 đô la thành hàng triệu đô la. So với hai bánh xe số còn lại, nếu một tay bạc đầu tư kép đặt cược trên bánh xe số thứ hai, sau một năm có thể có:

0 52 = 0 đô la

Tệ thật! Tay bạc này hầu như chắc chắn chẳng được gì sau một năm đánh bạc. Nghĩa là khi đó, anh ta trắng tay.

Nếu đặt cược vào bánh xe thứ ba, tài sản của tay bạc này sau một năm sẽ là:

1,2252 = 37.877 đô la

Nhưng không một con số nào trong ba kết quả trên được "đảm bảo". Luật số lớn không hoạt động theo cách này. Chỉ cần một vài vòng quay may mắn hơn hoặc kém may mắn hơn, kết quả đã khác đi nhiều. Có thể nói khá chắc chắn rằng bánh xe số thứ nhất sinh lợi nhiều hơn bánh xe số thứ ba, và bất cứ ai "chơi ngông" đặt cược lên bánh xe số thứ hai rốt cuộc sẽ phải trắng tay.

Phân tích trung bình - phương sai không áp dụng cho đầu tư kép. Hay nói cách khác, nó dành cho những tay bạc chỉ đặt cược một đô la một tuần trong lý thuyết của Kelly. Nhưng bởi vì lượng của cải có được từ tái đầu tư lớn hơn rất nhiều so với lượng của cải có được theo cách ngược lại nên một lý thuyết về đầu tư chỉ được xem là mang tính thực tiễn khi nó là lý thuyết về tái đầu tư.

Còn về lý thuyết của Markowitz, khi bạn cố gắng áp dụng nó vào đầu tư kép, kết quả thu được rất ngớ ngẩn. Một trong những đóng góp của Ed Thorp đối với lịch sử tiêu chuẩn Kelly là một bài báo ông viết năm 1969 mô tả sự tương phản về một số mặt giữa phân tích trung bình - phương sai và chính sách tối đa hóa số trung bình nhân. Ở đoạn kết bài báo, Thorp tuyên bố: "tiêu chuẩn Kelly có thể thay thế được tiêu chuẩn Markowitz trong vai trò hướng dẫn lựa chọn đầu tư".

Có thể không một nhà kinh tế học nào vào thời đó dám tuyên bố một câu như vậy. Cũng không dám chắc có tờ báo kinh tế nào dám xuất bản một bài như thế. Bài báo của Thorp xuất hiện trong Báo cáo của Viện thống kê quốc tế. Hầu như rất ít nhà kinh tế học đọc được nó. Dù sao đi nữa, vào thời điểm đó, chẳng mấy nhà kinh tế học biết đến John Kelly. Nhưng đó là điều sắp sửa phải thay đổi.