Máy bắn đạn

Những năm 70, Samuelson và Merton đã làm tốn bao giấy mực của báo chí với phương trình phủ nhận phương pháp tối đa hoá số trung bình nhân. Tính chính xác và sự uyên bác trong lý luận của hai ông đã thay đổi suy nghĩ của nhiều nhà quản lý danh mục đầu tư, nhà phân tích tài chính và các nhà đầu tư, những người mà Samuelson và Merton e ngại bị mê muội bởi "ảo tưởng" của Kelly.

Bản chất lý lẽ của Samuelson và Merton tương đối dễ hiểu. Tôi sẽ cố gắng trình bày nó trong một bức tranh dưới đây:

Hình trên trình bày tiêu chuẩn Kelly như một chiếc máy bắn đạn. Bạn tham gia mỗi ván cược rất hứa hẹn: tung một đồng xu "công bằng", nếu được mặt ngửa, ban nhận được gấp 6 lần số tiền đặt cược, ngược lại, bạn sẽ thua.

Tối đa, người chơi sẽ cược 200% giá trị đặt cược. (Với mỗi đồng đô la đặt cược, nếu tung được mặt ngửa và được 6 đô la, bạn phải đóng lệ phí chơi 50%, tức là 3 đô la. Tiền lời trung bình là 2 đô la cho 1 đô la đặt cọc, tương đương 200% giá trị của đồng đô la đó). Chi phí dôi ra là từ 5 đến 1. Điều này có nghĩa là tỷ lệ lợi nhuận biên/ chi phí là 2/5, hay 40% tổng số vốn.

Điều gì sẽ xảy ra một khi bạn bắt đầu đặt cược?

Đồ thị biểu diễn các kết quả có thể xảy ra, từ lần tung thứ nhất đến lần tung thứ 4. Bắt đầu từ trên xuống, ban đầu bạn có trong tay 100 đô la. Bạn sẽ đặt cược 40 đô la theo tỷ lệ đặt cược của Kelly, sau đó tung đồng xu.

Có hai đường chéo dẫn xuống từ 100 đô la, biểu diễn hai kết quả có thể xảy ra của lần tung đồng xu thứ nhất. Hoặc là bạn sẽ mất số tiền cược 40 đô la (và chỉ còn 60 đô la) hoặc bạn thắng được 40 X 6 = 240 đô la (và cùng với 60 đô la dư ra không đặt cược, bạn có tổng cộng 300 đô la).

Ở lần tung tiếp theo, bạn phải điều chỉnh số tiền đặt cược sao cho nó bằng 40% số tiền bạn đang có. Mỗi kết quả của lần tung thứ nhất sẽ dẫn ra hai kết quả khác, cần chú ý rằng các đường này hội tụ và đồng quy. Có hai cách để có được 180 đô la ở lần tung thứ hai.

Mạng lưới các khả năng này mở rộng ra giống như cách lý giải cho thuyết lượng tử - rằng mỗi biến cố ngẫu nhiên đều có thể phân chia thế giới này thành những mảng có xác suất như nhau. Đến khi tung đồng xu lần thứ tư, có 16 trường hợp riêng biệt có xác suất ngang nhau, tương ứng với mọi kết quả có thể có từ các lần tung được mặt sấp và mặt ngửa. Điều này được biểu diễn thông qua đồ thị tương tự như một chiếc máy đánh bạc pachinko. Mỗi quả banh biểu thị một kết quả có thể có trong tổng số 16 dòng zigzac từ trên xuống dưới.

Các túi hứng banh ở dòng cuối cùng biểu thị số tài sản cuối cùng sau bốn lần tung đồng xu. Túi ngoài cùng bên phải tượng trưng cho trường hợp may mắn nhất - bạn được mặt ngửa cả bốn lần tung đồng xu và được 8100 đô la.

Được như vậy thực quá tốt! Thường thì bạn chỉ mong tung được cả mặt ngửa và mặt sấp. Dòng zigzag kẻ chấm biểu diễn trường hợp bạn tung được mặt sấp, rồi mặt ngửa, mặt sấp và mặt sấp. Quả banh này sẽ rơi vào ô với ba quả còn lại, nghĩa là có 4 cách để có được kết quả này - 64,8 đô la.

Cũng có bốn cách khác nhau để tung được 3 ngửa và một sấp, mang lại cho bạn 1620 đô la.

Có bốn cách khác nhau để tung được 2 ngửa và 2 sấp. Đây là trường hợp bạn có "vận may trung bình" (2 lần thắng 2 lần thua) và có lẽ là kết quả thường gặp nhất. Từ 100 đô la bạn có được 324 đò la chỉ trong vòng 4 lần thử vận may.

Kết quả tồi tệ nhất là thua cả 4 lần. số tiền còn lại của bạn chỉ là 12,96 đô la.

-oOo-

Hầu hết đều không cảm thấy chắc chắn lắm về những kết quả này, bởi có sự khác biệt quá lớn giữa kết quả tốt nhất và kết quả tồi nhất. 5 trong số 16 kết quả, cái bạn thu được sau cùng lại ít hơn cái bạn có ban đầu. Mà đây chỉ mới là sau 4 canh bạc rất lý tưởng rồi.

1 trong số 16 kết quả, bạn sẽ có ít hơn nhiều những gì bạn có lúc đầu. Vậy thì việc Kelly đảm bảo sẽ tránh được rủi ro như ở trên có vẻ như vô nghĩa. Đồng ý là bạn sẽ không mất tất cả. Bạn vẫn chỉ chịu 1/16 cơ may đánh mất 87% số tiền vốn ban đầu chỉ trong vòng 4 canh bạc "đen".

Hệ thống Kelly dẫn tới một sự phân bố của cải (giữa các kết quả hay những biến cố tương tự) như của Manhattan. Có những người rất giàu, lại có những người rất nghèo và một ít người thuộc tầng lớp trung lưu.

Ta nên xem lại Kelly đã hứa hẹn điều gì. Số trung bình nhân, tức hữu dụng kỳ vọng của 16 kết quả có thể xảy ra là 324 đô la. Không có một hệ thống quản lý tài chính nào có được số trung bình nhân cao hơn hệ thống của Kelly.

Quả là quá tốt! Một ưu điểm nữa của tiêu chuẩn Kelly là tối đa hoá số của cải trung vị. số trung vị là một phương pháp thống kê có được bằng cách xếp tăng dần tất cả các giá trị, rồi lấy giá trị nằm giữa danh sách đó. Số trung vị được các hãng môi giới bất động sản sử dụng rất rộng rãi, và đặc biệt, nó rất cần thiết trong trường hợp của thị trấn Mahattan, nơi có rất nhiều mức giá khác nhau.

Trở lại trò chơi ở trên, số trung vị cũng bằng số trung bình nhân, tức là 324 đô la. Và cũng cao hơn số trung vị của cải có được từ bất kỳ hệ thống nào khác.

Điều duy nhất mà hệ thống của Kelly không giải quyết được đó là điều chính vận may. Khi dùng hệ thống của Kelly, có thể gặp vận đen và kết cuộc nhận được số tiền ít hơn số trung vị. Điều này còn tệ hơn việc bạn sử dụng một hệ thống khác.

Ký tự "epsilon" trong tiếng Hy Lạp biểu thị một lượng nhỏ tuỳ ý (hay các nhà phi toán học còn kí hiệu là "i" - bắt nguồn từ chữ "iota" trong tiếng Hy Lạp). Samuelson từng kết thúc một bài báo của mình bằng nhận định:

“Cũng như Gertrude Stein, tôi không đồng ý rằng: có thể xem epsilon bằng 0".

Hay nói cách khác, sai lầm của những người sử dụng hệ thống của Kelly là cho rằng rủi ro thua sạch tiền là rất nhỏ (chỉ bằng số epsilon) nên có thể coi như bằng 0. Tưởng tượng bạn nhảy khỏi máy bay với một chiếc dù tốt vậy thì, theo cách nghĩ này, bạn chắc chắn sẽ hạ cánh an toàn và lành lặn. Vậy tại sao mọi người không chơi thử môn thể thao kỳ thú này? vấn đề là ở chỗ người ta chấp nhận rủi ro ở những mức độ khác nhau. Xác suất xảy ra biến cố, dù nhỏ cũng có thể xảy ra, nó không phải bằng 0. Vận động viên Fraidycat Alice có thể đã đúng khi từ chối nhảy dù mặc dù cô biết rằng xác suất rủi ro xảy ra "trên thực tế bằng 0".

Chính xác suất rủi ro rất nhỏ này khiến cho hệ quả sai lầm bị sai. Có những mô hình quản lý tài chính có thể xử lý được tình huống kém rủi ro tốt hơn tiêu chuẩn Kelly. Dĩ nhiên, bù lại; các mô hình này có tỷ suất lợi nhuận kép trung bình thấp hơn.

Trong khuôn khổ bài này, tôi chỉ trình bày mô hình qua bốn lần cược. Còn trong dài hạn, kết quả có khả quan hơn không?

Có hoặc không. Theo thời gian, số trung vị tăng lên theo cấp số mũ. Thật là tốt! Có những hệ thống quản lý tài chính dẫn tới kết cục trắng tay hay làm mất tiền trong một chừng mực nào đó chứ không phải những viễn cảnh may mắn như mong đợi. Trong khi đó, có những mô hình tránh được rủi ro nhưng mang lại lợi nhuận thấp hơn khi so với mô hình của Kelly. Hiệu quả của mô hình Kelly đã vượt xa các đối thù khác và trở thành mô hình phù hợp nhất qua thời gian.

Về một khía cạnh khác, mọi thứ không trở nên tốt hơn trong dài hạn. Thời gian trôi qua, sự cách biệt giàu nghèo ngày càng lớn thêm mà thôi. Những người đã giàu lại càng giàu hơn, trong khi đó, những người nghèo ngày càng nghèo hơn.